Ligningen af flyet: hvordan man kan gøre? Typer plane ligninger

Flyet rum kan defineres på forskellige måder (én dot og vektor, vektoren og de to punkter, tre point, etc.). Det er med dette i tankerne, kan flyet ligning har forskellige typer. Også under visse betingelser plan kan være parallelle, vinkelret, krydsende etc. På denne og vil tale i denne artikel. Vi vil lære at gøre den generelle ligning af flyet og ikke kun.

Den normale form af ligningen

Antag R er rummet _3, som har et rektangulært koordinatsystem XYZ. Vi definerer en vektor α, som vil blive frigivet fra udgangspunktet O. Gennem udgangen af vektoren α tegne plan P, som er vinkelret på den.

Betegner P ved et vilkårligt punkt Q = (x, y, z). Radius vektor af punktet Q tegn brev s. Længden af vektoren er lig α p = IαI og ʋ = (cosa, cosβ, cosγ).

Denne enhedsvektor, som er rettet i retningen som vektor α. α, β og γ - er vinkler, der dannes mellem vektoren og de positive retninger ʋ space akser x, y, henholdsvis z. Projektionen af et punkt på vektor QεP ʋ er en konstant, som er lig med p (p, ʋ) = p (r≥0).

Ovenstående ligning er meningsfuldt når p = 0. Den eneste n fly i dette tilfælde ville krydse punkt O (α = 0), der er oprindelsen, og enhedsvektor ʋ, frigives fra punktet O vil være vinkelret på P, selv om dens retning, hvilket betyder, at vektoren ʋ bestemt op til skiltet. Tidligere ligning er vores plan P, udtrykt i vektorform. Men i betragtning af dens koordinater er:

P er større end eller lig med 0. Vi har fundet planet ligning i normale form.

Den generelle ligning

Hvis ligningen i koordinaterne ganges med et vilkårligt antal, der ikke er lig med nul, får vi ligningen svarende til dette, der definerer meget flyet. Det vil have følgende form:

Her, A, B, C - er antallet af samtidigt forskellig fra nul. Denne ligning kaldes ligningen af den generelle form af flyet.

Ligningerne for planerne. Særlige tilfælde

Ligningen kan generelt være modificeret med yderligere betingelser. Overvej nogle af dem.

Antag, at koefficienten A er 0. Dette indikerer, at planet parallelt med den forudbestemte akse Ox. I dette tilfælde i form af ligningen ændrer: Wu + Cz + D = 0.

Tilsvarende vil form af ligning og varierer med følgende betingelser:

• For det første, hvis B = 0, ligningen ændringer Ax + Cz + D = 0, hvilket indicerer paralleliteten til aksen Oy.
• Det andet, hvis C = 0, bliver ligningen transformeret ind Ax + By + D = 0, det vil sige om parallel med den forudbestemte akse Oz.
• Tredje, hvis D = 0, vil ligningen vises som Ax + By + Cz = 0, hvilket ville betyde, at flyet skærer O (oprindelse).
• Fjerde, hvis A = B = 0, ligningen ændringer Cz + D = 0, som vil vise sig at paralleliteten Oxy.
• Femte, hvis B = C = 0 er ligningen bliver Ax + D = 0, hvilket betyder, at flyet er parallel med Oyz.
• For det sjette hvis A = C = 0 er ligningen tager form Wu + D = 0, dvs. vil rapportere til paralleliteten Oxz.

Form af ligningen i segmenter

I det tilfælde hvor numrene A, B, C, D forskellig fra nul, i form af ligning (0) kan være som følger:

x / a + y / b + z / c = 1,

hvor a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Vi modtager som følge ligning af flyet i stykker. Det skal bemærkes, at dette plan skærer x-aksen ved punktet med koordinaterne (a, 0,0), Oy - (0, b, 0), og Oz - (0,0, s).

Givet ligningen x / a + y / b + z / c = 1, er det ikke svært at visualisere placeringen plan i forhold til en forudbestemt koordinatsystem.

Koordinaterne for normal vektor

Normalvektoren n til planet P har koordinater, som er koefficienterne med den almene ligning af flyet, dvs. n (A, B, C).

For at bestemme koordinaterne for den normale n, er det tilstrækkeligt at kende den generelle ligning givet plan.

Ved anvendelse af ligningen i segmenter, som har formen x / a + y / b + z / c = 1, som ved brug af generelle ligning kan skrives koordinater for enhver normal vektor et givet plan: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Det skal bemærkes, at den normale vektor af at hjælpe med at løse forskellige problemer. De mest almindelige problemer består i bevis retvinklede eller parallelle planer, til opgave at finde vinklerne mellem fly eller vinklerne mellem fly og lige linjer.

Indtast ifølge planet ligning og koordinaterne for punktet normal vektor

En ikke-nul vektor n, vinkelret på en givet plan, kaldet normal (normal) til en forudbestemt plan.

Antag, at i koordinatsystemet rum (et rektangulært koordinatsystem) Oxyz indstille:

• Mₒ punkt med koordinaterne (hₒ, uₒ, zₒ);
• nulvektor n = A * i + B * j + C * k.

Du skal foretage ligning af planet, der passerer gennem Mₒ punkt vinkelret på normale n.

I mellemrummet vælger vi en vilkårlig punkt og betegner M (x, y, z). Lad radius vektor af hvert punkt M (x, y, z) være r = x * I + y * j + z * k, og radius vektor af et punkt Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. Punktet M vil tilhøre et givet plan, hvis vektoren MₒM være vinkelret på vektoren n. Vi skriver tilstanden af ortogonalitet hjælp skalarproduktet:

[MₒM, n] = 0.

Siden MₒM = r-rₒ vil vektoren ligningen for planet se sådan ud:

[R - rₒ, n] = 0.

Denne ligning kan også have en anden form. Til dette formål, egenskaber skalarproduktet, omregnet venstre side af ligningen. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Hvis [rₒ, n] betegnet som s, får vi den følgende ligning: [r, n] - a = 0 eller [r, n] = s, der udtrykker konstans fremspringene på normal vektor af radius-vektorer af de givne punkter, der hører plan.

Nu kan du få koordinatsystemet typen optagelse plan vores vektor ligning [r - rₒ, n] = 0. Da r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, og n = A * i + B * j + C * k, har vi:

Det viser sig, at vi har ligningen dannes plan gennem punktet vinkelret på normal n:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Indtast ifølge planet ligning og koordinater for to punkter af vektoren plan collinear

Vi definerer to vilkårlige punkter M '(x', y 'z') og M "(x", y", z "), såvel som vektoren (a', a", en' '').

Nu kan vi skrive ligning forudbestemt plan, der går gennem det eksisterende punkt M 'og M", og hvert punkt med koordinaterne M (x, y, z) parallelt med en given vektor.

M'M vektorer således X = {x 'y-y'; zz} og M "M = {x" X ', y 'y'; z "-z '} bør være koplanar med vektoren a = (a', a "en' ''), hvilket betyder, at (M'M M" M, a) = 0.

Så vores ligning af et fly i rummet vil se sådan ud:

Typen af plane ligning, krydser tre punkter

Lad os sige, at vi har tre punkter: (x 'y', z '), (x', y 'z'), (x '' 'Har' '', z '' '), som ikke tilhører den samme linje. Det er nødvendigt at skrive ligning af plan, der går gennem de tre punkter er angivet. geometri teori hævder, at denne form for plan findes, det er bare eneste ene. Da dette plan skærer punktet (x 'y', z '), dens ligningsform ville være:

Her, A, B, og C er forskellig fra nul på samme tid. Også givet plan skærer to andre punkter (x "y", z ") og (x '' ', y' '', z '' '). I den forbindelse bør udføres denne form for betingelser:

Nu kan vi skabe et ensartet system af ligninger (lineære) med ubekendte u, v, w:

I vores tilfælde x, y eller z står vilkårligt punkt, som opfylder ligning (1). Overvejer ligning (1) og et system af ligninger (2) og (3) systemet af ligninger er angivet i figuren ovenfor vektor tilfredsstiller N (A, B, C), der er nontrivial. Det skyldes, at determinanten af systemet er nul.

Ligning (1), at vi har fået, er dette den ligning af flyet. 3 point hun virkelig går, og det er nemt at kontrollere. For at gøre dette, vi udvider determinanten af elementerne i den første række. Af de eksisterende egenskaber determinant følger, at vores planet samtidigt skærer tre oprindeligt forudbestemte punkt (x 'y', z '), (x "y", z "), (x' '', y '' ', z' ''). Så vi besluttede at opgave foran os.

Toplansvinkel mellem planerne

Toplansvinklen er en rumlig geometrisk form dannet af to halve fly, der udgår fra en lige linje. Med andre ord, en del af det rum, som er begrænset til de halvplaner.

Antag, at vi har to fly med følgende ligninger:

Vi ved, at vektoren N = (A, B, C) og Nl = (A i 'H¹, S¹) ifølge forudbestemte planer er vinkelrette. I denne henseende er vinklen φ mellem vektorer N og Nl lige vinkel (planer), som er placeret mellem disse planer. Skalarproduktet er givet ved:

NN¹ = | N || N'| cos φ,

netop fordi

coscp = NN¹ / | N || Nl | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (a² + s² + V²)) * (√ (Al) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Det er nok til at overveje at 0≤φ≤π.

Faktisk to planer, der skærer hinanden, danner to vinkel (planer): cp ₁ og φ _2. Deres sum er lig med Tr (φ ₁ + φ ₂ = π). Som for deres cosines, deres absolutte værdier er ens, men de er forskellige tegn, dvs. cos cp ₁ = -cos φ _2. Hvis i ligningen (0) erstattes af A, B og C i -A, -B og -C henholdsvis ligningen, vi opnår, vil bestemme den samme plan, den eneste vinkel φ ligningsvariable cos φ = NN ¹ / | N || N ¹ | Det vil blive erstattet af π-φ.

Ligningen for vinkelrette plan

Kaldet vinkelrette plan, mellem hvilke vinklen er 90 grader. Brug af materiale præsenteret ovenfor, kan vi finde ligningen for et plan vinkelret på den anden. Antag vi har to planer: ax + by + Cz + D = 0, og + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Vi kan sige, at de er ortogonale hvis cos = 0. Det betyder, at NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

Ligningen for en parallel plan

Det er nævnt to parallelle planer, der indeholder ingen point til fælles.

Betingelsen af parallelle planer (deres ligninger er de samme som i det foregående afsnit), er, at vektorerne N og N', som er vinkelrette på dem, collinear. Dette betyder, at følgende betingelser er opfyldt proportionalitet:

A / Al = B / C = H¹ / S¹.

Hvis de forholdsmæssigt ekspanderes - A / Al = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

indikerer dette, at data plan samme. Det betyder, at ligning Ax + By + Cz + D = 0 og + A¹h V¹u S¹z + + Dl = 0 beskriver et plan.

Afstanden fra punkt til plan

Antag, at vi har en plan P, som er givet ved (0). Det er nødvendigt at finde afstanden fra det punkt med koordinaterne (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Du skal medbringe ligningen i flyet II normale udseende at gøre det:

(Ρ, v) = p (r≥0).

I dette tilfælde ρ (x, y, z) er radius vektor af vores Q, som ligger på n p - n er længden af den vinkelrette, som blev frigivet fra nulpunktet, v - er enhedsvektoren, der er anbragt i retningen a.

Forskellen ρ-ρº radius vektor af et punkt Q = (x, y, z), der tilhører n og radius vektor af et givet punkt Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) er en sådan vektor, den absolutte værdi af projektionen af hvilken på v lig med den afstand d, som er nødvendig for at finde fra Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) til P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, men

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Så det viser sig,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Nu er det klart, at for at beregne afstanden d fra ₀ til Q planet P, er det nødvendigt at anvende normal visning plan ligning, skiftet til venstre for p, og det sidste sted af x, y, z erstatning (hₒ, uₒ, zₒ).

Således finder vi den absolutte værdi af den resulterende ekspression, der kræves d.

Ved hjælp af parametrene for sprog, får vi det indlysende:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (a² + V² + s²).

Hvis det angivne punkt Q ₀ er på den anden side af planet P som oprindelsen, derefter mellem vektoren ρ-ρ ⁰ og v er en stump vinkel, således:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

I det tilfælde, hvor punkt Q ₀ sammenholdt med oprindelsen placeret på den samme side af U, er den spidse vinkel skabt, som er:

d = (ρ-ρ ^0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

Resultatet er, at i det førstnævnte tilfælde (ρ ^0, v)> s, i den anden (ρ ^0, v)

Og dens tangentplan ligning

Om flyet til overfladen ved tangentpunktet Mº - et plan, der indeholder alle mulige tangent til kurve trukket gennem dette punkt på overfladen.

Med denne overfladeform af ligningen F (x, y, z) = 0 i ligningen af tangentplanet tangentpunktet Mº (hº, uº, zº) vil være:

_Fx (hº, uº, zº) (hº x) + K _x (hº, uº, zº) (uº y) + K _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

Hvis overfladen er udtrykkeligt sat z = f (x, y), derefter tangentplanet beskrives ved ligningen:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

Skæringspunktet mellem to planer

I tredimensionelt rum er et koordinatsystem (rektangulære) Oxyz, givet to planer P 'og P', der overlapper og ikke falder sammen. Eftersom enhver plan, som er i en rektangulær koordinatsystem defineret ved den almene ligning antager vi, at n 'og n "er defineret af ligningerne A'x + V'u S'z + + D' = 0 og A" + B x '+ y med "z + D" = 0. I dette tilfælde har vi normal n '(A', B 'C') af planet P 'og den normale n "(A", B "C") af planet P'. Som vores planet ikke er parallelle og ikke falder sammen, da disse vektorer er ikke collinear. Ved hjælp af sproget i matematik, har vi denne tilstand kan skrives som: n '≠ n "↔ (A', B 'C') ≠ (λ * Og", λ * I "λ * C"), λεR. Lad den rette linje, som ligger i skæringspunktet P 'og P", vil blive betegnet med bogstavet a, i dette tilfælde en = P' ∩ P".

og - en linje, der består af et antal punkter (fælles) planer P 'og P". Det betyder, at koordinaterne for ethvert punkt hører til linie a, skal samtidig opfylder ligningen A'x + V'u S'z + + D '= 0 og A "x + B' + C y" z + D "= 0. Det betyder, at koordinaterne for punktet bliver en særlig opløsning af følgende ligninger:

Resultatet er, at løsningen (samlet) af dette system af ligninger vil bestemme koordinaterne for hvert af punkterne på linjen som vil fungere som skæringspunktet P 'og P", og bestemme en linie i et koordinatsystem Oxyz (rektangulære) rum.