Hvad er et kvadrat? Sådan finder knudepunkter snitplan ligning, volumen og fodaftryk af en firkantet vinkel?

Svar på spørgsmålet om, hvad der er på pladsen, kan indstilles. Det hele afhænger af, hvem du har behandlet dette spørgsmål. Musikeren siger, at pladsen - en 4, 8, 16, 32 søjler eller jazz improvisation. Barnet - det er et spil med en bold eller en børnepool magasin. Printeren vil sende dig til at studere skriftstørrelse og udstyr - metal profilerede arter.

Der er mange andre værdier i dette ord, men i dag vil vi stille et spørgsmål om matematik. Så ...

Deal med dette tal, vil vi gradvist, fra simple til komplekse, og begynde med historien om pladsen. Da han dukkede op, som opfattes af mennesker, forskere fra forskellige lande og civilisationer?

Historien om undersøgelsen af pladsen

Antikke verden opfatter pladsen, hovedsagelig som de fire kardinalpunkter. Generelt trods de mange quads, lige ved den centrale plads i antallet - fire. For assyrerne og den peruvianske torv - hele verden, det vil sige, det repræsenterer de fire vigtigste retninger af kompasset.

Selv universet er som en firkant, også delt i fire dele - visionen om Nordamerika. For kelterne, universet - det er lige så meget som tre firkantede, indlejret, og fra midten af de fire floder løber (!). Og alle Ægypterne tilbad dette tal!

Først beskrevet af matematiske formler firkantede grækere. Men for dem, denne polygon har kun negative egenskaber. Pythagoras kunne ikke lide lige numre, se dem som svage og feminin.

Selv religioner nuværende firkantede. I Islam, Kaaba - navlen af jorden - er ikke en sfærisk, nemlig en kubisk form.

I Indien, den vigtigste grafem repræsenterer jord, eller jordsymbolet blev gendøbt firkantet. Igen, vi taler om de fire kardinalpunkter, de fire regioner af jorden.

I Kina, torvet - en verden harmoni og orden. Kaos er besejrede bygning firkantet Vary. En firkantet indskrevet i en cirkel, er grundlaget for at se verden, der symboliserer enhed og tilslutning af kosmos og Jorden.

Pagan Rusland - Square Svarog. Dette symbol kaldes også Svarog stjerne eller stjerne i Rusland. Det er ret kompliceret, som består af krydsende og lukkede linjer. Svarog - gud for smede, den vigtigste skaberen, skaberen og himlen selv i præsentationen af Rus. Dette symbol er en rombe, som igen taler af Jorden og dens fire retninger. Og stjernen med fire stråler - 4 verdenshjørner, Lika Svaroga 4 - hans alvidenhed. En stråle kryds - center.

Interessante fakta om pladsen

Den mest populære sætning, der kommer til at tænke på vores hovedperson - "Black Square".

Malevich billede er stadig meget populær. Forfatteren efter dens oprettelse har længe lidt spørgsmålet om, hvad det er, og hvorfor en enkel sort firkant på en hvid baggrund, så gør opmærksom på sig selv.

Men hvis du tager et nærmere kig nøje, vil du bemærke, at pladsen flyet er ikke glat, og i revner i sort blæk er et sæt af multi-farvede nuancer. Tilsyneladende, i begyndelsen var der en vis sammensætning, som forfatteren ikke kunne lide, og han lukkede det fra vores øjne for dette tal. Sort firkantet som noget - et sort hul, kun det magiske firkantede form. En tomrum er kendt for at tiltrække ...

En anden meget populære "magisk kvadrat". Faktisk er det - en tabel, naturligvis pladsen fyldt med tallene i hver kolonne. Summen af disse tal er det samme for alle rækker, kolonner og diagonaler (separat). Hvis diagonalerne elimineres fra ligningen, kvadratet - semimagic.

Albrecht Dürer i 1514 skabte maleriet "Melancholia I", der er afbildet et 4x4 magisk kvadrat. Det sum af antallet af kolonner, rækker diagonaler, og selv den indre torv er fireogtredive.

På grundlag af disse tabeller var meget interessant og populære puslespil - "Sudoku".

Egypterne var de første til at gennemføre sammenkobling linjenummer (fødselsdato) og karaktertræk, evner og talenter på den person. Pythagoras tog denne viden, få behandlet og placeret på pladsen. Resultatet var en kvadrat af Pythagoras.

Det har et separat område i numerologi. Fra datoen for fødslen af en person beregne ved at lægge de fire vigtigste tal, der er placeret i Pythagoras Square (firkant). Og lagt ud alle de skjulte oplysninger om din energi, sundhed, talent, held, temperament og andre ting på hylderne. I gennemsnit nøjagtigheden af undersøgelserne er 60% -80%.

Hvad er et kvadrat?

Square kaldes geometrisk figur. Shape firkantet - firkantet, som har lige store sider og vinkler. Mere præcist firkanten kaldes korrekt.

Pladsen har sine skilte. De er:

• sider af samme længde;
• ens vinkler indbyrdes - lige (90 grader).

På grund af disse egenskaber og funktioner i kvadreret cirkel kan indskrives, og beskrive det omkring ham. Den omskrevne cirkel er tangent til alle sine knudepunkter indskrevet - midt på dens sider. Deres fokus vil falde sammen med midten af pladsen, og vil dele alle hans skrå. Sidstnævnte på sin side er lige, og opdele hjørnerne af kvadratet i lige store dele.

En diagonal deler pladsen i to ligebenede trekanter, de to - til fire.

Hvis således længden af siderne i et kvadrat - t er længden af radius af den omskrevne cirkel - R, og en indskrevet - r, derefter

• en kvadratisk grundflade eller firkantet område (S) er lig med S = ^t2 = 2R ² = 4r ^2;

• en kvadratisk perimeter P bør beregnes ved formlen P = 4t = 4√2R = 8r;

• længden af radius for cirklen R = (√2 / 2) t;

• indskrevet - r = t / 2.

En kvadratisk grundflade er stadig muligt at beregne, at kende sin side (a) eller længden af dens diagonal (c), derefter formlen vises henholdsvis: S = ^a2 og S = 1 / 2c ^2.

Hvad er pladsen, er vi fundet. Lad os tage et nærmere kig på detaljerne, fordi tallet af pladsen er den symmetriske rektangel. Han har fem symmetriakser, med en (fjerde ordens) passerer gennem centrum og er vinkelret på planet af pladsen, og fire andre - dobbelte symmetriakse, to af dem er parallelle med siderne, og to mere passerer gennem diagonalen i kvadratet.

Fremgangsmåder til konstruktion af en firkant

På grundlag af definitionen, ser det ud til, at der ikke er noget nemmere end at bygge en perfekt kvadrat. Dette er sandt, men på den betingelse, at du har alle de måleværktøjer. Og hvis noget ikke er tilgængelig?

Lad os se på de eksisterende metoder, som vil hjælpe os til at bygge dette tal.

Måling lineal og er placeret vinkelret - det er de vigtigste redskaber, hvorigennem du kan lettest bygge et kvadrat.

I første omgang markere det punkt, siger A, vil vi bygge videre på det en kvadratisk base.

Ved hjælp af en lineal, bortset fra den til højre en afstand lig med længden af den side, for eksempel 30 mm, og indstil punkt B.

Nu, fra de to punkter, der anvender gon perpendikulærerne knalde op til 30 mm hver. Ved enderne af perpendikulærerne indstillingspunkter C og D, som er forbundet til hinanden ved hjælp af en lineal - all square ABCD med siden 30 mm klar!

Ved hjælp af en lineal og vinkelmåler er også ganske let at konstruere et kvadrat. Starte, som i det tidligere tilfælde i form, for eksempel N, bortset fra dens vandrette interval, for eksempel 50 mm. Sæt det punkt O.

Nu midten af vinkelmåleren forbinde med punkt H, afkrydsningsfeltet i vinklen ⁰ 90, derigennem og et punkt H build lodret segment 50 mm ved dens ende med et punkt P. Endvidere er der i denne måde opbygge det tredje segment fra punktet O med en vinkel på 90 ⁰ 50 mm, lad det ende punkt P. Forbind prikkerne R og R. du har aktiveret OGMF kvadrat med en sidelængde på 50 mm.

Det er muligt at konstruere et kvadrat, der kun bruger kompas og lineal. Hvis du har vigtige størrelse af pladsen og er kendt for længden af den side, vil det være nødvendigt mere og lommeregner.

Så sætte det første punkt E - dette vil være det af knudepunkter af pladsen. Dernæst skal du vælge det sted, hvor det vil blive placeret modsat toppunkt F, dvs. vente diagonal HEDGEHOG din figur. Hvis du bygger en firkant i størrelse, med længden af den side, beregne længden af diagonalen i formlen:

d = √2 * a, hvor a - sidelængde.

Når du kender længden af diagonalen længden af pindsvin bygge denne værdi. Fra punkt E med en skydelære i retning af punktet F tegne en halvcirkel med radius Hedgehog. Tværtimod, fra det punkt F - halvcirkel mod punktet E, samme radius. Gennem skæringspunktet af disse halvcirkler, ved hjælp af en lineal, tegne et segment link. Hedgehog og GI skærer hinanden i rette vinkler og diagonaler er fremtiden for et kvadrat. Forbind prikkerne UOM, IL, ZHZ og WE med en lineal, vil du modtage en indskrevet firkantet EIZHZ.

Det er stadig muligt at konstruere et kvadrat med en linje. Hvad er et kvadrat? Denne plane del afgrænset af indbyrdes skærende segmenter (linier stråler). Derfor kan vi konstruere en firkant på koordinaterne for sine knudepunkter. Først uafgjort akser. Side af pladsen kan ligge på dem, eller skæringspunktet mellem diagonaler centrum falder sammen med udgangspunktet - det afhænger af dit ønske eller problem betingelser. Måske din figur vil blive afstand fra aksen i en bestemt afstand. Under alle omstændigheder er det første tegn på numeriske værdier (tilfældigt eller betinget), de to punkter, så vil du være kendt sidelængde på en firkant. Vi kan nu beregne koordinaterne for de resterende to knudepunkter, huske på, at siderne af pladsen er lig med hinanden og er parallelle. Det sidste skridt - forbinde alle prikkerne i serie med hinanden med en lineal.

Hvad er de pladser?

Square - et tal klart defineret og strengt begrænset deres definitioner, så den slags pladser ikke afviger mangfoldighed.

Den firkantede euklidiske geometri ses mere bredt - en firkant med lige sider og hjørner, men graden af vinklerne er ikke angivet. Dette betyder, at vinklerne kan være 120 grader ( "konveks" firkant), og for eksempel 72 grader ( "konkav" square).

Hvis du spørger, hvad der er på pladsen i geometri eller videnskab, vil de fortælle dig, at - det er en komplet eller plane graf (kolonner K ₁ til K _4). Og det er helt rigtigt. Optællingen har knuder og kanter. Når de står op i ordnet par, danner en graf. Antallet af knuder - det er rækkefølgen af grafen, antallet af kanter - dens størrelse. Således firkant - et plant graf med fire knuder og seks kanter, eller K _4: 6.

side af pladsen

En af de vigtigste forudsætninger for eksistensen af pladsen - tilstedeværelsen af lige længde sider - gøre den side er meget vigtig for en række beregninger. Men samtidig giver mange måder at pladsen sidelængde blev beregnet ved tilstedeværelse af en bred vifte af kildedata.

Så hvordan man kan finde værdien af pladsen?

• Hvis du kender kun længden af diagonalen af pladsen d, så kan du beregne retningen af følgende formel: a = d / √2.
• Diameteren af den indskrevne cirkel er den side af et kvadrat, og derfor to gange radius, der er: a = D = 2R.
• Radius af cirklen kan også hjælpe regne ud, hvad er den side af pladsen. Vi kan finde radius R en diameter D, som på sin side er lig med diagonalen i et kvadrat d, og formlen for diagonalen i kvadratet gennem vi ved: a = D / √2 = d / √2 = 2R / √2.
• Fra lighed mellem det indebærer, at lære side af et kvadrat (a) er mulig ved hjælp af sin omkreds P og areal S: a = √S = P / 4.
• Hvis vi kender længden af den linje, der går fra hjørnet af pladsen og krydser midten af dens tilstødende side C, den os også være i stand til at finde ud af, hvad er længden af den side af pladsen: a = 2C / √5.

Det er, hvor mange måder der er at se sådan en vigtig parameter som længden af pladsen.

volumen firkant

Sætningen selv er absurd. Hvad er et kvadrat? Dette er en plan figur med kun to parametre - længde og bredde. Og lydstyrken? Dette er en kvantitativ karakterisering af den plads, som det objekt, altså at det kan kun beregnes i mængde organer.

Surround kroppen, hvor alle ansigter er pladser - terningen. På trods af den enorme og grundlæggende forskel, de studerende forsøger ofte at beregne mængden af et kvadrat. Hvis det er nogen lykkes, er Nobelprisen forudsat.

Og for at finde ud af mængden af en terning V, er det tilstrækkeligt at formere alle tre af hans ribben - a, b, c: V = a * b * c. Og da de er per definition lig, kan formlen se anderledes: V = a ^3.

Værdier dele og specifikationer

Pladsen, såvel som enhver polygon, der er den øverste - det er det punkt, hvor korset ham. Toppen af pladsen ligger på en cirkel beskrevet omkring det. Gennem øverst i midten af pladsen i den diagonale udvider, som også er bisector og radius af den omskrevne cirkel.

Da firkant - en flad figur, derefter skåret og bygge et kvadratisk tværsnit ikke er mulig. Men det kan være resultatet af skæringspunktet mellem mange voluminøse krop flyet. For eksempel en cylinder. Aksialsnit af en cylinder - et rektangel eller kvadrat. Selv firkantet kan ske ved skæringspunktet mellem planet af kroppen i enhver vinkel!

Men pladsen er der en anden holdning til det tværsnit, men ikke til nogle, men til det gyldne snit.

Vi ved alle, at det gyldne snit - et forhold, hvor den ene refererer til en anden, samt deres sum til en større værdi. Sammenfattende denne procentdel er som følger: referenceværdien (beløb) divideres med 62 og 38 procent.

Det gyldne snit er meget populære. Det bruges i design, arkitektur, ja overalt, selv i økonomien. Men det er ikke kun den del afledt af Pythagoras. Der er for eksempel, selv udtrykket "√2". På grundlag heraf konstruktionen af de dynamiske rektangler, der igen er grundlæggere formater gruppe A (A6, A5, A4, etc.). Hvorfor vi taler om dynamiske rektangler? Fordi deres konstruktion starter med et kvadrat.

Ja, først skal du bygge et kvadrat. Hans side vil være lig med den mindre side af rektanglet i fremtiden. Så har du brug for at holde diagonalen af pladsen og bruge kompasset, længden af diagonalen at udskyde en fortsættelse af pladsen. Fra det punkt, opnået ved skæringspunktet er ved at opbygge et rektangel, hvis diagonal igen bygge og udskyde sin længde på forlængelsen side. Hvis du fortsætter med at arbejde på denne ordning, vil modtage de meget dynamiske rektangler.

Forholdet mellem lange side til korte det første rektangel er 0,7. Det er næsten 0,68 i det gyldne snit.

Hjørnerne på pladsen

Faktisk er vanskelig noget frisk at sige om vinklerne. Alle de egenskaber, de er også tegn på pladsen, har vi listet. Med hensyn til de hjørner, fire af dem (som i enhver firkant), hvert hjørne af pladsen - en lige linje, der er, har en størrelse på halvfems grader. Per definition er der en rektangulær firkant. Hvis hjørnerne af større eller mindre - det er et andet tal.

Diagonal af et kvadrat er opdelt i halve dens hjørner, dvs. at de er de bisectors.

square ligning

Hvis det er nødvendigt at beregne værdien af forskellige størrelser i en firkant (kvadratiske perimeter længder af siderne eller diagonalerne) anvender forskellige ligninger, som er afledt af egenskaberne af en firkant, og de grundlæggende love for geometri regler.

1. Ligning firkantet område

Fra ligningerne til at beregne den firsidede område, ved vi, at det (området) er produktet af længde og bredde. Og da den firkantede side lige lange, området vil det være lig med længden af hver side, bygget i anden grad

S = ^a2.

Ved hjælp af Pythagoras 'sætning, kan vi beregne arealet af et kvadrat kende længden af diagonalen.

S = d ^2/2.

2. Ligningen af pladsen perimeter

Perimeteren af pladsen, samt alle firkanter, lig med summen af længderne af dets sider, og da de alle er de samme, kan det siges, at kvadratet på omkredsen er længden af den del, multipliceret med fire

P = a + a + a + a = 4a.

Igen pythagoræiske læresætning hjælper os med at finde omkredsen gennem diagonalen. Det er nødvendigt at værdsætte den diagonale længde ganget med to rødder to

P = 2√2d

3. Ligning diagonalen i kvadratet

Diagonal af et kvadrat er lig skærer vinkelret og delte skæringspunktet af to.

Du kan finde dem på grundlag af de ovenstående ligninger areal og omkreds af en firkant

d = √2 * a, d = √2S, d = P / 2√2

Der er måder at finde ud af, hvad er længden af diagonalen i et kvadrat. Radius af cirkel indskrevet i et kvadrat er lig med halvdelen af diagonalen, dermed

d = √2D = 2√2R, hvor D - diameter, og R - radius af den indskrevne cirkel.

Kendskab til radius af den omskrevne cirkel, beregne diagonal endnu nemmere, fordi det er den diameter, det vil sige d = D = 2R.

Det er også muligt at beregne længden af diagonalen, kende længden af linjen kommer ud af hjørnet til midten af pladsen C: d = √8 / 5 * C.

Men glem ikke, at pladsen - et plan plot, afgrænset af fire skærende linier.

For strækninger (og dannede figurer til) der er nok ligninger kræver ikke yderligere beskrivelse, men linjen er endeløs. En begrænset polygoner linjer vejkryds. For dem er det muligt at anvende lineære ligninger kombineres på at definere de rette linier. Men det er nødvendigt at angive yderligere parametre, betingelser.

For at bestemme de polygoner er det nødvendigt at foretage en sådan ligning, der ville beskrive ikke en linje, men en separat vilkårlig interval uden indblanding yderligere vilkår og beskrivelser.

_{[X / x i] * [} xi / x] * y i - dette er en særlig ligning for polygoner.

De kantede parenteser i det peger på en undtagelse betingelse er en brøkdel af det antal, der er, må vi forlade kun hele tal. y _i - en funktion, som er i området af parameteren x til x _i.

Ved hjælp af denne ligning, kan vi udlede en ny ligning til beregning af længder og linje bestående af flere segmenter. Det er en grundlæggende, universel for polygoner.

Husk, at pladsen - det er en del af flyet, så dens beskrivelse af typen y = f (x) kan repræsenteres oftest kun som en multi-værdsat funktion, som på sin side kan udtrykkes i utvetydig hvis præsentere dem parametrisk, der er afhængig af den en parameter t:

x = f (t), y = f (t).

Så hvis de anvendes sammen universel ligning og parametrisk repræsentation, er det virkelig muligt at udlede en ligning til ekspression af polygoner:

x = ((A2 + A3) * A5 + A4 * P) * Cos (L)

y = ((A1 + A4) * A5 + A3 * P) * Sin (L),

hvor

A1 = [1 / [T / P]] * [T / P]; A2 = [2 / [T / P]] * [[T / P] / 2]; A3 = [3 / [T / P]] * [[T / P] / 3]; A4 = [4 / [T / P]] * [[T / P] / 4]; A5 = TP * [T / P],

hvor P - diagonal af rektanglet, L - hældningsvinklen til vandret, diagonal P, T - parametervarierende i området P til 5P.

Hvis L = 3,14 / 4 og derefter ligningen vil beskrive kvadrater af forskellige størrelser, afhængigt af størrelsen af den diagonale P.

Anvendelsen af offentlig

I dagens verden af teknologi gør det muligt at knytte forskellige materialer firkantet form, eller mere præcist et kvadratisk tværsnit.

Det er stort set gunstig, billigere, mere holdbare og mere sikkert. Så nu gør firkantede rør, pæle, tråd (ledninger), og endda en firkantet tråd.

Vigtigste fordele er indlysende, de kommer ud af elementær geometri. Med den samme mængde af den indskrevne cirkel af et firkantet område mindre end det område, hvor den trådte følgelig gennemløb eller effektforbruget af firkantrør firkantede ledninger til at være højere end den for de runde analoger.

Ofte hjælpematerialer firkantet mere æstetisk tiltalende og let at bruge, installere, montere.

Når du vælger disse materialer er det vigtigt at korrekt beregne den firkantede tværsnit til en wire eller rør modstod den nødvendige belastning. I hvert tilfælde, selvfølgelig vil der være behov parametre såsom strømstyrke eller tryk, men uden grundlæggende geometriske regler pladsen kan ikke gøre her. Selv om størrelsen af firkantet sektion ikke er i den grad som er valgt af de givne parametre for skemaerne gæster til forskellige industrier.