Summen af vinklerne i en trekant. Den sætning om summen af vinklerne i en trekant

Trekanten er en polygon med tre sider (tre vinkler). Oftest del betegnet med små bogstaver tilsvarende store bogstaver, som repræsenterer modsatte toppunkter. I denne artikel vil vi tage et kig på disse typer af geometriske former, teorem, der definerer, hvad der er lig med summen af vinklerne i en trekant.

Typer største vinkler

Følgende typer af polygon med tre knudepunkter:

• akut-vinklet, ved hvilken alle vinkler er skarpe;
• rektangulær med en ret vinkel, den side, der danner det, henvist til benene, og den side, der er anbragt modsat den rette vinkel kaldes hypotenusen;
• stump når en vinkel er stump ;
• ligebenet, hvis to sider er lige, og de kaldes lateral, og den tredje - en trekant med en base;
• ligesidet har tre lige store sider.

egenskaber

Tildele de grundlæggende egenskaber, der er karakteristiske for hver type trekant:

• modsat den største side er altid større vinkel, og omvendt;
• er lige store vinkler overfor lige-største parti, og omvendt;
• i enhver trekant har to spidse vinkler;
• ydre vinkel større end nogen indre vinkel ikke er tilgrænsende dertil;
• summen af to vinkler er altid mindre end 180 grader;
• udvendige vinkel er lig med summen af de to andre hjørner, som ikke mezhuyut med ham.

Den sætning om summen af vinklerne i en trekant

Sætningen hedder, at hvis du tilføje op alle hjørner af den geometriske form, som er beliggende i den euklidiske plan, så deres sum vil være 180 grader. Lad os prøve at bevise denne sætning.

Lad vi har en vilkårlig trekant med knudepunkter KMN. Hen over toppen af M vil holde en direkte parallelt med den linje KN (selv denne linje kaldes Euclid). Det skal bemærkes, punkt A, således at punkterne K og A er arrangeret fra forskellige sider af linien MN. Vi får den samme vinkel på AMS og MUF, der ligesom det indre, ligge på tværs til dannelse af krydsende MN sammenholdt med direkte CN og MA, som er parallelle. Heraf følger, at summen af vinklerne i trekanten, placeret ved hjørnerne af M og N er lig med størrelsen af CMA vinkel. Alle tre vinkler består af et beløb svarende til summen af vinklerne i KMA og MCS. Da dataene er interne vinkler i forhold sidede parallelle linjer CL og CM MA krydsende, deres sum er 180 grader. Dette beviser sætningen.

resultat

Af ovenstående ovenstående sætning indebærer følgende konsekvens: hver trekant har to spidse vinkler. For at bevise dette, lad os antage, at dette geometrisk figur har kun én spids vinkel. Du kan også gå ud fra, at ingen af hjørnerne er ikke skarpe. I dette tilfælde skal det være mindst to vinkler, hvis størrelse er lig med eller større end 90 grader. Men så summen af vinklerne er større end 180 grader. Men det kan ikke være, som i henhold til de teorem summen vinklerne i en trekant er lig med 180 ° - hverken mere eller mindre. Det er, hvad der skulle bevises.

Ejendom udvendige hjørner

Hvad er summen af vinklerne i en trekant, som er ekstern? Svaret på dette spørgsmål kan opnås ved at anvende en af to måder. Den første er, at du skal finde summen af de vinkler, som tages én ved hvert hjørne, det vil sige tre vinkler. Den anden indebærer, at du har brug for at finde summen af de seks vinkler på de hjørner. At beskæftige sig med begyndelsen af den første udformning. Således trekanten indeholder seks ydre hjørner - i toppen af hver af de to. Hvert par har lige vinkler mellem sig selv, da de er lodret:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Desuden er det kendt, at det yderste hjørne af en trekant er lig med summen af de to indre, som ikke er mezhuyutsya med ham. derfor,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Heraf fremgår det, at summen af de udvendige vinkler, som tages én efter én nær hvert hjørne vil være lig med:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

I betragtning af, at summen af vinklerne er lig med 180 grader, kan det hævdes, at ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. Det betyder, at ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. Hvis der anvendes den anden mulighed, vil summen af de seks vinkler være tilsvarende større to gange. Dvs. summen af vinklerne i en trekant udenfor vil være:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

retvinklet trekant

Hvad er lig med summen af vinklerne i en retvinklet trekant, er øen? Svaret er, igen, fra Sætning, hvori det hedder, at vinklerne i en trekant tilføje op til 180 grader. En lyd vores påstand (ejendom) på følgende måde: i en retvinklet trekant skarpe vinkler tilføje op til 90 grader. Vi bevise sin rigtighed. Lad der blive givet trekant KMN, som ∟N = 90 °. Det er nødvendigt at bevise, at ∟K ∟M = + 90 °.

Således ifølge sætningen på summen af vinklerne ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. I denne tilstand siges det, at ∟N = 90 °. Det viser sig ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. Det er ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °. Det er, hvad vi burde bevise.

Ud over de ovennævnte egenskaber af en retvinklet trekant, kan du tilføje disse:

• vinkler, som ligger mod benene er skarpe;
• hypotenusen af den trekantede større end nogen af benene;
• summen af benene mere end hypotenusen;
• ben af trekanten, der ligger modsat vinkel på 30 grader, halvdelen af hypotenusen, som er lig med sin halve.

Som en anden egenskab ved den geometriske form kan skelnes Pythagoras 'læresætning. Hun mener, at i en trekant med en vinkel på 90 grader (rektangulær), summen af kvadraterne af benene er lig med kvadratet på hypotenusen.

Summen af vinklerne i en ligebenet trekant

Vi har tidligere sagt, at en ligebenet trekant er en polygon med tre knudepunkter, der indeholder to lige store sider. Denne egenskab er kendt geometrisk figur: vinklerne på sin base lige. Lad os bevise dette.

Tag trekanten KMN, som er ligebenet, SC - sin base. Vi er forpligtet til at bevise, at ∟K = ∟N. Så lad os antage, at MA - KMN er bisector af vores trekant. ICA trekant med det første tegn på lighed er trekant MNA. Nemlig ved hypotese da CM = NM, MA er en fælles side, ∟1 = ∟2, fordi MA - dette bisector. Brug af lighed mellem de to trekanter, kunne man argumentere for, at ∟K = ∟N. Derfor er sætningen bevist.

Men vi er interesseret i, hvad der er summen af vinklerne i en trekant (ligebenet). Fordi der i den forbindelse har det ikke dens funktioner, vil vi starte fra teorem diskuteret tidligere. Det vil sige, vi kan sige, at ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, eller 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (som ∟K = ∟N). Dette vil ikke bevise ejendommen, da sætningen på summen af vinklerne i en trekant blev bevist tidligere.

Bortset de betragtede egenskaber af hjørnerne af en trekant, der er også så vigtige udsagn:

• i en ligesidet trekant højde, som var blevet sænket til basen, er samtidig medianen bisector af den vinkel, som er mellem de lige sider og symmetriakse af dens base;
• median (bisector, højde), som holdes til siderne af en geometrisk figur, er ens.

ligesidet trekant

Det kaldes også den rigtige, er trekanten, som er ens for alle parter. Og derfor også lige og vinkler. Hver af dem er 60 grader. Lad os bevise denne egenskab.

Lad os antage, at vi har en trekant KMN. Vi ved, at KM = HM = KH. Dette betyder, at ifølge den egenskab af vinklerne placeret på basen i en ligesidet trekant ∟K = ∟M = ∟N. Da der ifølge summen af vinklerne i en trekant teorem ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, derefter x 3 = 180 ° ∟K eller ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Således er påstand bevist. Som det fremgår af ovenstående dokumentation baseret på den ovennævnte sætning, summen af vinklerne i en ligesidet trekant, som summen af vinklerne i enhver anden trekant er 180 grader. Igen beviser denne sætning er ikke nødvendig.

Der er stadig nogle egenskaber er karakteristiske for en ligesidet trekant:

• median halveringslinje højde i en geometrisk figur identiske, og deres længde er beregnet som (a x √3): 2;
• hvis denne polygon, der omgiver cirklen, så radius vil være lig med (a x √3): 3;
• hvis indskrevet i en cirkel ligesidet trekant, ville dens radius være (a x √3): 6;
• område af geometrisk figur beregnes ved formlen: (a2 x √3): 4.

stump trekant

Definition en stumpvinklet trekant, en af dens hjørner er mellem 90 til 180 grader. Men i betragtning af, at de to andre vinkler på den geometriske form skarp, kan det konkluderes, at de ikke overstiger 90 grader. Derfor er summen af vinklerne i en trekant sætning arbejder i at beregne summen af vinklerne i en stump trekant. Så kan vi roligt sige, baseret på ovenstående sætning, at summen af de stumpe vinkler i en trekant er 180 grader. Igen, dette teorem ikke behøver at re-bevis.