Sådan finder højden af en ligesidet trekant? Formel placering, højde egenskaber i en ligesidet trekant

Geometri - det er ikke bare et skolefag, som du har brug for at få en perfekt score. Det er også en viden, der ofte kræves i livet. For eksempel, når man bygger et hus med højt tag er nødvendigt at beregne tykkelsen af træstammer og deres antal. Det er nemt, hvis du ved, hvordan man finder højden af en ligesidet trekant. Arkitektoniske strukturer er baseret på viden om egenskaberne af geometriske figurer. De former for bygninger er ofte visuelt ligne dem. De egyptiske pyramider, de pakker af mælk, kunstnerisk broderi, nordlige maleri og endda kager - alle trekanterne omkring manden. Som Platon sagde, er hele verden baseret på trekanter.

ligebenet trekant

For at gøre det klarere, som vil blive diskuteret nedenfor, er det værd at lidt at huske det grundlæggende i geometri.

Trekanten er ligebenet, hvis den har to lige store sider. De kalder altid side. Part, hvis dimensioner afviger, kaldet baser.

grundlæggende begreber

Som enhver videnskab, geometri har sine egne grundlæggende regler og begreber. En masse af dem. Tænk kun dem uden hvilken vores tema vil være noget uklart.

Højde - dette er en lige linie trukket vinkelret til den modsatte side.

Median - et segment rettet fra hvert hjørne af trekanten kun til midten af den modsatte side.

Halveringslinien - en bjælke, der deler i halve vinkel.

Bisector af en trekant - det er en direkte, eller rettere, det segment bisector, der forbinder toppen af den modsatte side.

Det er vigtigt at huske, at bisector af vinklen - det er obligatorisk ray og trekant bisector - en del af bjælken.

Baseforbindelserne vinkler på

Sætningen hedder, at hjørnerne er placeret i bunden af enhver ligebenet trekant er altid lig. For at bevise dette teorem er meget enkel. Overvej vist en ligebenet trekant ABC, hvor AB = BC. Fra ABC vinkelhalveringslinien vinkel nødvendig til HP. Nu bør overvejes de to resulterende trekant. På betingelse AB = BC, højtrykssiden af trekanterne i almindelighed og vinklerne AED og SVD er ens, fordi VD - bisector. Huske det første tegn på lighed, kan vi roligt konkludere, at trekanter betragtes som ligeværdige. Derfor alle relevante vinkler er lige. Og, selvfølgelig, at parterne, men til den tid vil vende tilbage senere.

Højden af ligebenet trekant

Den grundlæggende sætning, som er baseret løsning til stort set alle opgaver, er: højde i en trekant er bisector og medianen. For at forstå den praktiske fornuft (eller essens), bør gøre støtte godtgørelse. For at gøre dette, skære papir ligebenet trekant. Den nemmeste måde at gøre dette fra en almindelig plade af bærbare i kassen.

Fold resulterende trekant i halve, tilpasse siderne. Hvad skete der? To lige store trekanter. Nu kontrollere gæt. Udvide resulterende origami. Tegne en foldelinie. Med vinkelmåler kontrollere vinklen mellem den indskårne linie og en trekant base. Hvad gør vinkel på 90 grader? Den omstændighed, at linje trukket - vinkelrette. Per definition - højde. Sådan finder højden af en ligesidet trekant, har vi forstået. Nu til hjørnerne i toppen. Ved hjælp af de samme kontrol vinkelmålerlinjerne vinkler, er nu dannet allerede høj. De er lige. Det betyder, at højden er både bisector. Bevæbnet med en lineal, måle segmenterne, i hvilke højden af basen. De er lige. Derfor højden i en ligesidet trekant gennemskærer basen og er en median.

beviset

Visuelle hjælpemidler viser klart gyldigheden af teorem. Men geometri - videnskaben præcis nok, så selvindlysende.

Under hensyntagen til lige vinkler på basen havde vist lige trekanter. Recall, WA - vinkelhalveringslinjen, og trekanterne AED og SVD er lige. Konklusionen var, at de tilsvarende sider af trekanten og naturligvis, vinklerne er ens. Så AD = SD. Derfor WA - median. Det er fortsat at bevise, at HP er høj. Baseret på lighed af trekanter betragtning, viser det sig at en vinkel svarende til vinklen ADV ADD. Men disse to vinkler er tilstødende og har været kendt for at tilføje op til 180 grader. Derfor, hvad de er? Selvfølgelig, 90 grader. Således, HP - er højden i en ligesidet trekant henledes på basen. QED.

Vigtige funktioner

• For at imødekomme de udfordringer, bør den huske de vigtigste elementer i ligebenede trekanter. De synes at være den inverse teorem.
• Hvis der i løbet af at løse problemet opdaget af lighed mellem to vinkler, betyder det, at du har at gøre med en ligebenet trekant.
• Hvis du ikke er i stand til at bevise, at medianen er også højden af trekanten, sikkert vedlægge - trekanten er ligebenet.
• Hvis vinkelhalvering er højden, derefter, baseret på de vigtigste elementer i den henvist til en ligebenet trekant trekant.
• Og, selvfølgelig, hvis medianen og fungerer som en højde, sådan en trekant - ligebenet.

højden af Formel 1

Men for de fleste opgaver, du har brug for at finde den aritmetiske højde værdi. Det er derfor, vi overveje, hvordan man finde højden af en ligesidet trekant.

Vender tilbage til den ovennævnte figur, ABC, hvor en - sider i - base. HP - højden af trekanten, det har h symbol.

Hvad er trekanten AED? Da HP - højde, så trekanten AED - firkantet ben, som du ønsker at finde. Ved hjælp af Pythagoras 'formel, får vi:

= + AV² AD² VD²

Definition af udtryk VD og erstatte betegnelser tidligere vedtagne, får vi:

N² = a² - (a / 2) ².

Du skal fjerne rod:

H = √a² - v² / 4.

Hvis du laver en ¼ af tegnet af roden, så formlen ville være:

H = ½ √4a² - v².

Så er højden i en ligesidet trekant. Formlen afledt Pythagoras. Selv hvis vi glemmer den symbolske notation, så, vel vidende metoden til fund, du kan altid bringe det.

højden af formel 2

Den ovenfor beskrevne formel er den grundlæggende og mest almindeligt anvendt i de fleste af geometriske problemer. Men hun var ikke den eneste. Nogle gange er det tilvejebragt i stedet for en basisværdi given vinkel. Når data såsom at finde en højde af en ligesidet trekant? For at løse disse problemer er det tilrådeligt at bruge en anden formel:

H = a / sin α,

hvor H - højde, mod bunden,

og - en lateral side,

α - vinkel på basen.

Hvis problemet er givet den vinkel, toppunktet, højden i en ligesidet trekant er som følger:

H = a / cos (β / 2),

hvor H - højde, sænket til basen ,,

β - vinklen ved toppunktet,

og - sider.

Lige ligebenet trekant

Meget interessant ejendom har en trekant, spidsen af hvilket er lig med 90 grader. Overvej en retvinklet trekant ABC. Som i tidligere sager, WA - højde mod bunden.

Grundelementerne vinkler er lige. Beregn deres store arbejde vil ikke gøre:

α = (180 - 90) / 2.

Således hjørner placeret i bunden, altid ved 45 grader. Overvej nu ADV trekant. Han også er rektangulært. Vi finder den vinkel AED. Ved simple beregninger får vi 45 grader. Og derfor denne trekant er ikke kun ret, men også en ligebenet. Den siderne AD og VD er siderne og er lige.

Men siden AD samtidig er halvdelen af AU. Det viser sig, at i højden af en ligesidet trekant er lig med halvdelen af basen, som hvis skrevet i form af en formel, får vi følgende udtryk:

H = a / 2.

Det må ikke glemmes, at denne formel er kun et særtilfælde, og kun kan bruges til de rektangulære ligebenede trekanter.

Den gyldne trekant

Meget interessant er den gyldne trekant. I denne figur er forholdet mellem den side af basen er lig med værdien, kaldet antallet af Fidias. Corner placeret på toppen - 36 grader, med basen - 72 grader. Denne trekant beundret Pythagoræerne. Golden Triangle principper danner grundlaget for en flerhed af udødelige mesterværker. Den velkendte femtakkede stjerne bygget i skæringspunktet mellem ligebenede trekanter. For mange værker af Leonardo da Vinci brugte princippet om den "gyldne trekant". Sammensætning "Mona Lisa" er baseret netop på tallene, som skaber en ret pentagram.

Maleri "kubisme", en af Pablo Pikasso værker, fascinerende udsigt danner grundlag for en ligebenet trekant.