Korrekt femkant: Mindste oplysninger kræves

Forklarende ordbog Ozhegova siger, at femkantet er en geometrisk figur, afgrænset af fem skærende linjer, der danner fem indre vinkler såvel som ethvert formål med en lignende form. Hvis en given polygon har alle sider og vinkler identiske, så kaldes den den korrekte (femkant).

Hvad er interessen for en almindelig femkant?

Det var i denne form, at den berømte bygning fra De Forenede Staters Forsvarsministerium blev bygget. Af volumen regelmæssig polyhedra har kun en dodecahedron ansigter i form af en femkant. Og i naturen er der slet ingen krystaller, hvis ansigter ligner en regelmæssig femkant. Desuden er denne figur en polygon med et minimum antal vinkler, hvilket det ikke er muligt at firkantet området. Kun ved femkantet falder antallet af diagonaler sammen med antallet af siderne. Enig, det er interessant!

Grundlæggende egenskaber og formler

Ved hjælp af formlerne for en vilkårlig regelmæssig polygon kan du bestemme alle de nødvendige parametre, som Pentagon har.

• Den centrale vinkel er a = 360 / n = 360/5 = 72 °.
• Den indre vinkel β = 180 ° * (n-2) / n = 180 ° * 3/5 = 108 °. Tilsvarende er summen af de indvendige vinkler 540 °.
• Forholdet mellem diagonalen og siden er (1 + √5) / 2, det vil sige den "gyldne sektion" (ca. 1.618).
• Længden af den side, som den faste femkant har, kan beregnes ud fra en af tre formler afhængigt af hvilken parameter der allerede er kendt:

• Hvis en cirkel er omkredset omkring den, og dens radius R er kendt, så a = 2 * R * sin (α / 2) = 2 * R * sin (72 ° / 2) ≈ 1,1756 * R;
• I tilfælde af at en cirkel med radius r er indskrevet i en almindelig femkant, a = 2 * r * tg (α / 2) = 2 * r * tg (α / 2) ≈ 1,453 * r;
• Det sker, at i stedet for radii er diagonalværdien D kendt, så bestemmes siden som følger: a ≈ D / 1.618.

• Området for den regulære femkant er igen bestemt afhængigt af, hvilken parameter der er kendt for os:
• Hvis der er en indskrevet eller afgrænset cirkel, anvendes en af to formler:

S = (n * a * r) / 2 = 2,5 * a * r eller S = (n * R2 * sin a) / 2 ≈ 2,3776 * R2;

• Området kan også bestemmes ved kun at kende længden af lateral side a:

S = (5 * a ² * tg54 °) / 4 ≈ 1,7205 * a ² .

Korrekt femkant: konstruktion

Denne geometriske figur kan konstrueres på forskellige måder. Skriv det for eksempel i en cirkel med en given radius eller bygg ud fra en given side. Sekvensen af handlinger blev beskrevet i Euclids "Elementer" omkring 300 år f.Kr. Under alle omstændigheder har vi brug for et par kompasser og en lineal. Lad os overveje en metode til konstruktion ved hjælp af en given cirkel.

1. Vælg en vilkårlig radius og tegne en cirkel, der markerer centeret med punktet O.

2. På cirkellinjen skal du vælge det punkt, som vil tjene som en af vinklerne på vores femkant. Lad dette være punktet A. Deltag i punkterne O og A ved et lige linjesegment.

3. Tegn en lige linje gennem punktet O vinkelret på den lige linje OA. Punkt skæringspunktet for denne linje med cirkellinjen, som punkt B.

4. Konstruer punkt C ved midten af afstanden mellem punkt O og B.

5. Træk nu en cirkel, hvis center vil være ved punkt C, og som passerer gennem punkt A. Stedet for dets skæringspunkt med den lige linje OB (det vil være inden for den allerførste cirkel) bliver punktet D.

6. Konstruer en cirkel, der går gennem D, hvis center er i A. Punkterne for dets kryds med den oprindelige cirkel skal betegnes med punkterne E og F.

7. Konstruer nu en cirkel, hvis center er i E. Gør det nødvendigt, så det passerer gennem A. Dens andet kryds af den oprindelige cirkel skal betegnes ved punkt G.

8. Konstruktér endelig en cirkel gennem A med midten ved punkt F. Marker et andet skæringspunkt af den oprindelige cirkel ved punkt H.

9. Nu skal vi kun forbinde hjørnerne A, E, G, H, F. Vores faste femkant er klar!