Hvor mindst kvadratmetoden anvendes

Metoden for mindste kvadrater (OLS) gør det muligt at estimere forskellige mængder ved hjælp af resultaterne af et sæt målinger indeholdende tilfældige fejl.

Karakteristisk for OLS

Hovedformålet med denne metode er, at som et kriterium for nøjagtigheden af løsningen af problemet betragtes summen af fejlfirkanter, som man søger at minimere. Ved hjælp af denne metode kan du anvende både numerisk og analytisk tilgang.

Specielt som en numerisk implementering indebærer metoden for mindste kvadrater at udføre så mange dimensioner af en ukendt tilfældig variabel som muligt. Desuden jo flere beregninger jo mere nøjagtige løsningen. På dette sæt af beregninger (indledende data) opnås et andet sæt antagede løsninger, hvorfra det bedste bliver valgt. Hvis sæt af løsninger parametrieres, reduceres metoden for mindste kvadrater til at finde den optimale værdi af parametrene.

Som en analytisk tilgang til implementeringen af MNC'er på et sæt indledende data (dimensioner) og et antaget sæt af løsninger bestemmes en bestemt funktionel afhængighed (funktionel), som kan udtrykkes ved en formel opnået som en hypotese, der kræver bekræftelse. I dette tilfælde reduceres metoden for mindste kvadrater for at finde minimum af denne funktion på de sæt kvadratiske fejl i de oprindelige data.

Bemærk at ikke fejlene selv, men firkanterne af fejl. Hvorfor? Faktum er, at ofte afvigelser fra målinger fra de nøjagtige værdier er både positive og negative. Ved bestemmelse af den gennemsnitlige målefejl kan en simpel summation føre til en fejlagtig konklusion om kvaliteten af estimatet, da den gensidige ødelæggelse af positive og negative værdier vil reducere prøveffekten af måleværdiet. Og følgelig, nøjagtigheden af evalueringen.

For at dette skal ske, og opsumm firkanterne af afvigelser. Endnu mere, for at udligne dimensionen af den målte værdi og det endelige estimat, ekstraheres en kvadratrode fra summen af fejlkvadrater .

Nogle MNC applikationer

MNC er meget udbredt inden for forskellige områder. For eksempel anvendes sandsynlighedsteori og matematisk statistik en metode til at bestemme en karakteristik for en tilfældig variabel, såsom standardafvigelsen, der bestemmer bredden af en række værdier af en tilfældig variabel.

I matematisk analyse og i forskellige fysikområder, der bruger dette apparat til at udlede eller bekræfte hypoteser, benyttes OLS især til at vurdere den omtrentlige repræsentation af funktioner defineret på numeriske sæt ved enklere funktioner, der tillader analytiske transformationer.

En anden anvendelse af denne fremgangsmåde er adskillelsen af det anvendelige signal fra den støj, der pålægges den i filtreringsproblemer.

Et andet anvendelsesområde for MNC er økonometri. Her anvendes denne metode så meget, at der er blevet identificeret nogle specielle ændringer.

De fleste af økonometriets problemer reducerer på en eller anden måde løsningen af systemer af lineære økonometriske ligninger, der beskriver opførelsen af nogle systemer - strukturelle modeller. Hovedelementet i hver sådan model er tidsserien, som er en samling af nogle karakteristika, hvis værdier afhænger af tid såvel som på en række andre faktorer. I dette tilfælde kan der være en korrespondance mellem modelens interne (endogene) egenskaber og de eksterne (eksogene) egenskaber. Denne korrespondance udtrykkes sædvanligvis i form af systemer af lineære økonomiske ligninger.

Et karakteristisk træk ved sådanne systemer er eksistensen af sammenhænge mellem individuelle variabler, som på den ene side komplicerer det og på den anden - omdefinerer. Hvad forårsager usikkerhed ved valg af løsning af sådanne systemer. En yderligere faktor, som komplicerer løsningen af sådanne problemer, er afhængigheden af modelparametrene til tiden.

Hovedmålet med økonometriets problemer er identifikation af modeller, det vil sige bestemmelsen af de strukturelle relationer i den valgte model samt estimeringen af en række parametre.

Genoprettelsen af afhængigheder i tidsserierne, der komponerer modellen, kan udføres, især ved hjælp af både direkte OLS og nogle af dens modifikationer, samt en række andre metoder. Særlige ændringer af MNC'er til løsning af sådanne problemer er specielt udviklet til at løse visse problemer, der opstår i processen med numerisk løsning af ligningssystemer.

Navnlig er et af disse problemer relateret til forekomsten af indledende begrænsninger på de parametre, der skal evalueres. For eksempel kan en privat virksomheds indtægter bruges til forbrug eller udvikling. Som følge heraf er summen af delene af disse to typer af omkostninger kendt for at være 1. Til systemet med økonometriske ligninger kan disse dele indtræde uafhængigt af hinanden. Derfor er det muligt at estimere de forskellige former for udgifter ved hjælp af OLS uden at tage hensyn til den oprindelige begrænsning, og derefter rette det opnåede resultat. Denne metode til løsning kaldes den indirekte mindst-kvadrering metode.

Indirekte metode for mindste kvadrater (KMNK) bruges til en præcis defineret strukturmodel. KIOC-algoritmen forudsætter følgende handlinger:

1) transformation af den strukturelle model til en enklere, reduceret form ved at indføre et yderligere forhold;

2) estimeringen ved hjælp af de minimale kvadrater af de reducerede koefficienter for hver ligning af den forenklede model;

3) de opnåede koefficienter af den enkle form af modellen transformeres til parametre af den oprindelige strukturelle model.

Det skal bemærkes, at der ikke anvendes KMNC'er til superidentificerede systemer, da det i dette tilfælde ikke er muligt at angive entydige estimater af parametrene for strukturmodellen. For sådanne modeller kan en yderligere ændring af de mindste kvadrater (to- trins mindst-kvadrering metode ) anvendes.

DMNK-algoritmen er som følger:

1) beregne for den superidentificerede ligning på grundlag af en forenklet model værdierne for de interne variabler, der er indeholdt i højre side af ligningen;

2) erstatte de opnåede værdier af variabler til stedet for de tilsvarende faktiske variabler i den oprindelige model og igen anvende de konventionelle mindste kvadrater.

En detaljeret beskrivelse af de indirekte og to-trins metoder for mindste kvadrater findes i mange lærebøger om økonometri. Disse metoders egenart, såvel som det almindelige MNC, er deres universalitet, som gør det muligt for dem at blive brugt til at estimere koefficienterne for enhver strukturel model i ethvert fagområde.