FormationVidenskab

Fourier transformation. Fast Fourier transformation. Diskret Fourier transformation

Fouriertransformation - transformation, at knytte en bestemt funktion af en reel variabel. Denne operation udføres, hver gang vi opfatter forskellige lyde. Ear producerer automatisk "beregning", som opfylder vores kan bevidsthed først efter undersøgelse af den del af højere matematik. hørelse organ hos et menneske transformation konstruktioner, hvori lyden (konventionel vibrationsbevægelse af partikler i et elastisk medium, som udbreder i bølgeform i fast, flydende eller gasformigt medium) er tilvejebragt i en række på hinanden følgende værdier af lydstyrken for toner af varierende højder. Efter dette, hjernen bliver informationen i alle de velkendte lyd.

Matematisk Fouriertransformation

Omdannelse af lydbølger eller andre vibrationer processer (ved lysemission og ocean tidevand og stjernernes eller sol cykler) kan udføres og ved hjælp af matematiske metoder. Ved anvendelse af disse teknikker, funktioner kan udvides ved at indføre vibrationelle processerne af sinusformede komponenter, dvs. bølgede kurver, der går fra et minimum til et maksimum og derefter igen til et minimum, ligesom den bølge af havet. Fouriertransformation - omdannelse funktion, som beskriver fase eller amplituden af hver sinuskurve svarende til en bestemt frekvens. Fase er et udgangspunkt af kurven, og amplituden - af sin højde.

Fourier transformation (eksempler er vist på billedet) er et meget kraftfuldt værktøj, som anvendes i forskellige områder af videnskaben. I nogle tilfælde er det brugt som en opløsning temmelig komplekse ligninger, som beskriver de dynamiske processer, der forekommer under påvirkning af lys, varme eller elektrisk energi. I andre tilfælde er det muligt at definere regelmæssige komponenter i komplekse kurver, på grund af dette kan være sandt at fortolke forskellige eksperimentelle observationer i kemi, medicin og astronomi.

historiske oplysninger

Den første person til at anvende denne metode var den franske matematiker Zhan Batist Fure. Konvertering efterfølgende opkaldt efter ham, blev oprindeligt brugt til at beskrive varmeledning mekanisme. Fourier hele sit voksne liv beskæftiget med at studere egenskaberne for varmen. Han gjorde et enormt bidrag til den matematiske teori om bestemmelse af rødderne af algebraiske ligninger. Fourier var professor i analyse ved Ecole Polytechnique, sekretæren for Institut for egyptologi, var den kejserlige tjeneste, der vakte opsigt på tidspunktet for opførelsen af vejen til Torino (under hans ledelse blev drænet af mere end 80 tusind kvadratkilometer af malaria sumpe). Men alt dette aktivisme ikke stoppe videnskabsmand engageret i matematisk analyse. I 1802 blev det udledt en ligning, der beskriver formering af varme i faste stoffer. I 1807, videnskabsmand opdaget en metode til at løse denne ligning, som blev kendt som "Fourier transformation".

varmeledningsevne analyse

Forskerne brugte en matematisk metode til at beskrive varmeledningen mekanisme. En bekvem eksempel, hvor nogen vanskelighed ved beregning er udbredelsen af termisk energi ved en jernring, en del nedsænket i en brand. For at udføre eksperimenter Fourier rødglødende del af ringen og begrave ham i det fine sand. Derefter temperaturmålinger foretaget på den modsatte side deraf. Indledningsvis varmefordelingen er uregelmæssig: del af ringen - koldt, og den anden - varmt, mellem zonerne kan observere en skarp temperaturgradient. Men i løbet af varmefordelingen på tværs af metaloverfladen, bliver det mere ensartet. Så snart, denne proces tager form af en sinuskurve. Første graf gradvist stiger og også aftager jævnt, præcist love variation af cosinus eller sinusfunktion. Wave gradvist udlignede og som et resultat temperaturen bliver ensartet på hele overfladen af ringen.

Forfatteren af denne metode antages, at den oprindelige fordeling er helt uregelmæssig kan opdeles i et antal elementære sinusbølger. Hver af dem vil have sin fase (udgangsposition) og dens maksimale temperatur. Således hver enkelt bestanddels skifter fra et minimum til et maksimum og tilbage for at fuldføre revolution omkring ring heltal gange. Komponent med en periode, der blev kaldt den fundamentale harmoniske, og værdien med to eller flere perioder - den anden og så videre. For eksempel en matematisk funktion, der beskriver den maksimale temperatur, fasen eller position kaldet Fouriertransformation af fordelingsfunktionen. Videnskabsmand bragte en enkelt komponent, der er vanskelig at matematisk beskrivelse, for nem at bruge værktøj - rækker af sinus og cosinus, i mængden af give den oprindelige fordeling.

Essensen af analysen

Anvende denne analyse med omdannelsen af varmefordelingen på den faste genstand, som har en ringformet form, en matematiker ræsonnerede, at stigende perioder med sinusformede komponenter fører til dets hurtige dæmpning. Dette ses tydeligt på de vigtigste og anden harmoniske. Den endelige temperatur når det dobbelte af den maksimale og minimale værdier i en enkelt passage, og i det første - kun én gang. Det viser sig, at den afstand, som varme i den anden harmoniske er halvdelen af kernen. Desuden vil gradienten af den anden halvdel også være stejlere end den første. Eftersom en mere intens termisk flux passerer enke minimal afstand, så vil dette blive dæmpet harmonisk fire gange hurtigere end den vigtigste, som en funktion af tiden. I det følgende vil processen blive endnu hurtigere. Matematiker mente, at denne fremgangsmåde giver os mulighed for at beregne fremgangsmåden ifølge den indledende fordeling af temperaturen med tiden.

Call samtidige

Fouriertransformation algoritme er blevet en udfordring for det teoretiske grundlag for matematik på det tidspunkt. I begyndelsen af det nittende århundrede, har de fleste fremtrædende videnskabsfolk, herunder Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre og Biot ikke acceptere hans påstand om, at temperaturen af den oprindelige fordeling nedbrydes i komponenter i form af den fundamentale bølge og højere frekvens. Dog kunne Academy of Sciences ikke ignorere de opnåede resultater matematiker, og tildelte ham prisen for teorien om varmeledning af lovene, samt udførelse af dens sammenligning med fysiske eksperimenter. I Fourier fremgangsmåde, den vigtigste indvending er, at en diskontinuert funktion er repræsenteret ved en sum af flere sinusformede funktioner, som er kontinuerlig. Efter alt, de beskriver de bursting lige og buede linjer. Nutidige videnskabsmand havde aldrig fundet en situation, hvor de diskontinuerte beskrevne funktioner ved en kombination af kontinuert, såsom kvadratisk, lineær, sinus eller udstiller. I tilfælde af at en matematiker var ret i hans påstande, bør summen af en uendelig række af trigonometriske funktioner er begrænset til den præcise hastighed. Mens en sådan påstand virkede absurd. Men på trods af den tvivl af nogle forskere (f.eks Claude Navier, Sofi Zhermen) udvidede anvendelsesområdet for forskning og bragte dem ud af analysen af varmefordeling. En matematik, i mellemtiden, fortsatte med at lide spørgsmålet om, hvorvidt en sum af flere sinusformede funktioner er reduceret til en nøjagtig gengivelse af sprængning.

200-årige historie

Denne teori har udviklet sig over to århundreder, i dag er det endelig dannet. Ved hjælp af de rumlige eller tidsmæssige funktioner er opdelt sinusformede komponenter, der har en frekvens, fase og amplitude. Denne omdannelse opnås ved to forskellige matematiske metoder. Den første af dem anvendes i det tilfælde, hvor kilden er en kontinuert funktion, og den anden - i det tilfælde, hvor den er repræsenteret ved en flerhed af diskrete individuelle ændringer. Hvis udtrykket er opnået fra værdier, som er defineret ved diskrete intervaller, kan den opdeles i flere særskilte sinusformede frekvenser udtryk - fra det laveste og derefter fordoblet, tredoblet, og så videre over den fundamentale. Dette beløb kaldes Fourier-serien. Hvis den indledende ekspression indstiller værdien af hvert reelt tal, kan det opdeles i flere sinusformede alle mulige frekvenser. Det kaldes en Fourier integreret, og beslutningen indebærer en transformation af integrerende. Uanset hvilken fremgangsmåde til opnåelse transformation, for hver frekvens bør angive to tal: amplitude og frekvens. Disse værdier er udtrykt som et enkelt komplekst tal. Ekspression komplekse variabler teori sammen med Fouriertransformation til at udføre beregninger tilladt udformningen af forskellige elektriske kredsløb, analyse af mekaniske vibrationer, undersøgelse for bølgeudbredelse mekanisme og en anden.

Fouriertransformation i dag

I dag, studiet af denne proces dybest set kan koges ned til at finde effektive metoder til overgangen fra funktion til at konvertere det tilbage til tankerne. Denne løsning kaldes direkte og inverse Fouriertransformation. Hvad betyder det? For at bestemme integralet og foretage en direkte Fouriertransformation, kan du bruge matematiske metoder, men du kan analytisk. Trods det faktum, at når de anvendes i praksis er der nogle vanskeligheder, har de fleste integraler allerede blevet fundet og indtastet i matematiske håndbøger. Med hjælp af numeriske metoder kan beregnes udtryk, hvis form er baseret på de eksperimentelle data, en funktion, hvis integraler i tabellerne mangler, og de er vanskelige at forestille sig i en analytisk formular.

Før fremkomsten af computeren ingeniørberegninger sådanne transformationer har været meget kedelige, de kræver manuel udførelse af et stort antal aritmetiske operationer, der er afhængige af det antal point, der beskriver bølgefunktionen. For at lette afviklingen i dag, der er særlige programmer, lov til at implementere nye analysemetoder. Så i 1965, Dzheyms Kuli og Dzhon Tyuki skabte software, der blev kendt som "Fast Fourier Transform". Det sparer tid for beregningen ved at reducere antallet af multiplikationer i analysen af kurven. "Fast Fourier Transform" Metoden er baseret på opdeling af kurven i et stort antal ensartede sampleværdier. Følgelig er antallet af multiplikationer halveres på samme reducere antallet af punkter.

Anvendelse af Fouriertransformation

Denne proces bruges på forskellige områder: I talteori, fysik, signalbehandling, kombinatorik, sandsynlighedsregning, kryptografi, statistik, oceanografi, optik, akustik, og andre geometrier. Rige muligheder for dets anvendelse er baseret på en række nyttige funktioner, som kaldes "egenskaber af Fourier transformation." Lad os undersøge dem.

1. Omdannelsen funktion er en lineær operator og en tilsvarende normalisering er i ét stykke. Denne egenskab er kendt som Parseval sætning, eller i det generelle tilfælde, sætningen Plansherelja eller Pontrjagin dualisme.

2. Omregningen er reversibel. Desuden det modsatte resultat i det væsentlige tilsvarende form som i den direkte adressering.

3. De sinusformede grundlæggende udtryk er deres egne differentierede funktioner. Det betyder, at en sådan repræsentation ændrer lineære ligninger med konstante koefficienter i en konventionel algebraisk.

4. I henhold til "foldning" sætning, den proces gør en kompleks operation i elementær multiplikation.

5. diskret Fourier transformation kan hurtigt designet på en computer ved hjælp af "hurtig" metode.

Variationer af Fouriertransformation

1. Oftest udtrykket anvendes til at henvise til en kontinuerlig transformation, give nogen kvadratisk integrerbare udtryk som summen af komplekse eksponentiel ekspression med specifikke kantede frekvenser og amplituder. Denne art har flere forskellige former, som kan være forskellige konstante koefficienter. Den kontinuerlige fremgangsmåde indbefatter en konverteringstabel, der kan findes i matematiske håndbøger. En generaliseret tilfælde er fraktioneret omdannelse, hvorved denne proces kan hæves til den ønskede reelle magt.

2. Den kontinuerlige metode er en generalisering af tidligere teknik af Fourier serier defineret for eventuelle periodiske funktioner eller udtryk, som findes i et begrænset område og repræsenterer dem som en serie af sinusoider.

3. Diskret Fourier transformation. Denne fremgangsmåde anvendes ved beregningen til videnskabelig beregning og digital signalbehandling. For at udføre denne type beregning er forpligtet til at have en funktion til at bestemme om et diskret sæt af individuelle punkter, periodisk eller begrænset region i stedet for kontinuerlige Fourierintegraler. Signalomsætning i dette tilfælde repræsenteres som en sum af sinuskurver. Brugen af "hurtig" metode giver mulighed for brug af digitale løsninger til alle praktiske formål.

4. Vinduet Fouriertransformation er en generaliseret afbildning af den klassiske metode. I modsætning til standard løsninger, når der anvendes signalspektret, som er truffet i hele spektret af eksistensen af denne variabel er af særlig interesse her er kun den lokale frekvensfordelingen samtidig bevare den oprindelige variabel (tid).

5. Den todimensionale Fourier transformation. Denne metode anvendes til at arbejde med todimensionale arrays af data. I et sådant tilfælde, er omdannelsen udføres i én retning, og derefter - i den anden.

konklusion

I dag er Fourier metoden solidt forankret i de forskellige områder af videnskaben. For eksempel i 1962 den åbnes formen af DNA dobbelt helix under anvendelse af Fourier-analyse i forbindelse med røntgendiffraktion. Seneste krystaller fokuseret på DNA fibre, hvilket resulterer i et billede, der opnås ved diffraktion, registreres på filmen. Dette billede gav information om værdien af amplituden ved hjælp Fouriertransformation til denne krystalstruktur. Fase data opnået ved sammenligning af DNA-diffraktion kort med kort, der er opnået i analysen af lignende kemiske strukturer. Som et resultat, biologer restaureret krystalstruktur - den oprindelige funktion.

Fourier transformation spille en stor rolle i studiet af det ydre rum, fysik af halvledermaterialer og plasma, mikroovn akustik, oceanografi, radar, seismologi og lægeundersøgelser.

Similar articles

 

 

 

 

Trending Now

 

 

 

 

Newest

Copyright © 2018 atomiyme.com. Theme powered by WordPress.