Problemer med torvområdet og meget mere

Sådan en fantastisk og velkendt firkant. Det er symmetrisk om dets center og akser trukket langs diagonalerne og gennem sidernes sider. Og at søge efter et kvadrat eller et volumenområde gør ikke meget. Især hvis længden af hans side er kendt.

Et par ord om figuren og dens egenskaber

De to første egenskaber er relateret til definitionen. Alle sider af figuren er lig med hinanden. Pladsen er trods alt den rigtige firkant. Og han er nødvendigvis alle sider lige og vinklerne har samme værdi, nemlig - 90 grader. Dette er den anden ejendom.

Den tredje er relateret til længden af diagonalerne. De er også lig med hinanden. Og de skærer i rette vinkler og i midten af punkterne.

En formel, hvor kun sidelængden anvendes

Først om betegnelsen. For længden af siden er det almindeligt at vælge bogstavet "a". Så kvadratet af kvadratet beregnes med formlen: S = a ² .

Det er let opnået fra den kendte for rektanglet. I den multipliceres længden og bredden. For en firkant er disse to elementer ens. Derfor forekommer firkanten af denne ene mængde i formlen.

Formlen hvor længden af diagonalen vises

Det er hypotenuse i trekanten, hvis ben er benets ben. Derfor kan vi bruge formlen for den pythagoriske sætning og udlede en lighed, hvor siden udtrykkes gennem diagonalen.

Ved at udføre sådanne enkle transformationer, opnår vi, at kvadratet af kvadratet gennem diagonalen beregnes med følgende formel:

S = d 2/2 . Her bogstavet d betegner firkantets diagonale.

Formel omkring omkredsen

I denne situation er det nødvendigt at udtrykke siden gennem omkredsen og erstatte den i områdets formel. Da der er fire sider af figuren, skal omkredsen divideres med 4. Dette vil være værdien af siden, som derefter kan erstattes af den første og kvadratens område.

Formlen i generel form er som følger: S = (P / 4) ² .

Afregningsopgaver

Nej. Der er en firkant. Summen af dens to sider er 12 cm. Beregn torvområdet og dets omkreds.

Løsningen. Da summen af de to sider er givet, skal du vide længden af en. Da de er ens, skal det kendte tal simpelthen opdeles i to. Det vil sige, siden af denne figur er 6 cm.

Derefter kan dens omkreds og areal let beregnes ud fra de ovennævnte formler. Den første er 24 cm, og den anden er 36 cm ² .

Svar. Torgets omkreds er 24 cm, og området er 36 cm ² .

Nr. 2. Find ud af torvområdet med en omkreds på 32 mm.

Løsningen. Det er nok at erstatte perimeterværdien i ovenstående formel. Selvom du først kan kende siden af torget, og derefter dens område.

I begge tilfælde vil handlingerne først følges af division og derefter hæve til en magt. Enkle beregninger fører til, at arealet af det præsenterede firkant er 64 mm ² .

Svar. Det krævede område er 64 mm ² .

Torgets side er 4 dm. Dimensioner af rektanglet: 2 og 6 dm. Hvilke af de to figurer har mere område? Hvor meget?

Løsningen. Lad siden af firkanten betegnes med bogstavet a ₁ , så længden og bredden af rektangelet a ₂ og ₂ . For at bestemme området for en firkant skal værdien af en ₁ være kvadret, og rektanglet multipliceres med en ₂ og ₂ . Det er nemt.

Det viser sig, at kvadratet af pladsen er 16 dm ² , og rektanglet er 12 dm ² . Selvfølgelig er den første figur større end den anden. Dette er på trods af at de er lige, det vil sige de har samme omkreds. For at kontrollere, kan du tælle omkredsene. På pladsen skal siden multipliceres med 4, det viser sig at være 16 dm. Ved rektanglet skal du folde sidene og formere med 2. Der vil være samme nummer.

I opgaven er det stadig nødvendigt at svare på, hvor mange områder der er forskellige. For at gøre dette bliver et mindre tal trukket fra et større antal. Forskellen er 4 dm ² .

Svar. Områderne er 16 dm ² og 12 dm ² . På pladsen er det mere med 4 dm ² .

Problemerne med beviset

Betingelse. Firkanten er konstrueret på benet af en lige højre trekant . Til sin hypotenuse højde er bygget på hvilket en anden firkant er bygget. Bevis at arealet af det første er dobbelt så stort som det andet.

Løsningen. Vi introducerer notationen. Lad kateten være lig med a, og højden til hypotenusen, x. Området på det første torv er S ₁ , det andet er S ₂ .

Pladsen af pladsen bygget på benet er let at beregne. Det viser sig at være en ² . Med den anden værdi er alt ikke så simpelt.

For det første skal du vide længden af hypotenusen. For dette er formlen for den pythagoriske sætning nyttig. Enkle transformationer fører til følgende udtryk: a√2.

Da højden i en ensartet trekant, der er trukket til bunden, også er en median og en højde, deler den en stor trekant i to lige enslige højre trekant. Derfor er højden halvdelen af hypotenuse. Det vil sige, x = (a√2) / 2. Derfor er det nemt at finde ud af området S ₂ . Det opnås som en 2/2.

Det er klart, at de registrerede værdier afviger nøjagtigt med en faktor på to. Og den anden er et antal gange mindre. Som påkrævet for at bevise.

Et usædvanligt puslespil - tangram

Den er lavet af en firkant. Det er nødvendigt at skære det i forskellige former i henhold til visse regler. De samlede dele skal være 7.

Reglerne antager, at i løbet af spillet vil alle de resulterende detaljer blive brugt. Af disse skal du lave andre geometriske former. For eksempel et rektangel, et trapezformet eller et parallelogram.

Men det er endnu mere interessant, når silhuetter af dyr eller genstande opnås fra stykkerne. Og det viser sig, at arealet af alle afledte figurer er lig med det oprindelige firkant.