Hvad er aritmetiske? Aritmetikkens Fundamentalsætning. binær aritmetik

Hvad er aritmetiske? Når menneskeheden begyndte at bruge tal og arbejde med dem? Hvor sine rødder i dagligdags begreber som tal, brøker, subtraktion, addition og multiplikation, at personen har gjort en integreret del af hans liv og livssyn? Græske sind beundret sådanne videnskaber som matematik, regning og geometri, som en smuk symfoni af menneskelig logik.

Måske matematik er ikke så dybt som de andre videnskaber, men hvad der ville ske med dem, folk glemmer de elementære gangetabeller? Velkendt for os logisk tænkning, ved hjælp af tal, brøker og andre værktøjer til at give folk en hård tid, og i lang tid var ikke til rådighed for vores forfædre. Faktisk før udviklingen af aritmetiske intet område af menneskelig viden var ikke rigtig videnskabelig.

Arithmetic - Matematik er alfabetet

Aritmetik - videnskaben om tal, som enhver person begynder bekendtskab med den fascinerende verden af matematik. Med ordene fra M. V. Lomonosov, aritmetik - det er den port for læring, baner vejen for os til Miropoznanie. Men han har ret, er viden om verden kan adskilles fra viden om bogstaver og tal, matematik og tale? Måske i gamle dage, men ikke i den moderne verden, hvor den hastige udvikling inden for videnskab og teknologi gør sine egne love.

Ordet "udregning" (Gk. "Arifmos") af græsk oprindelse, betyder "tal". Den undersøger antallet og alt, hvad der kan være forbundet med dem. Dette er en verden af tal: forskellige operationer på tal, numeriske regler, de opgaver, der er forbundet med den multiplikation, subtraktion, og så videre ..

Det er almindeligt accepteret, at det indledende trin er det aritmetiske matematik og solidt grundlag for de mere komplekse sine sektioner, såsom algebra, matematisk analyse, højere matematik og t. D.

Hovedformålet med aritmetiske

Grundlaget for aritmetiske - er et heltal, egenskaber og love, der anses for den højeste aritmetiske eller talteori. Faktisk hvordan den rigtige tilgang er taget i betragtning af sådan en lille enhed, som et naturligt tal afhængig af styrken af bygningen - matematik.

Derfor er spørgsmålet, der er aritmetik, er svaret enkelt: Det er videnskaben om tal. Ja, om de sædvanlige syv, ni, og alt dette mangfoldigt samfund. Og lige så godt, og de mest middelmådige vers kan ikke skrive uden grundlæggende alfabet, uden aritmetiske ikke kan løses selv grundlæggende opgaver. Det er derfor, alle videnskaber har avancerede først efter udviklingen af aritmetiske og matematik, primært at være et sæt af antagelser.

Aritmetik - science-spøgelse

Hvad er aritmetisk - naturvidenskab eller et fantom? Faktisk, så de gamle græske filosoffer begrundet, ingen numre, ingen tal i virkeligheden ikke eksisterer. Det er bare et fantom, der er skabt i den menneskelige tanke, når du ser miljøet og dens processer. Faktisk, hvad er nummeret? Ingen steder omkring vi kan ikke se noget lignende kunne kaldes nummeret, snarere, at antallet - det er en måde at udforske verden af det menneskelige sind. Måske dette studie har vi inde i sig selv? Filosoffer skændes om dette i mange århundreder i træk, så at give et udtømmende svar, vi ikke påtage sig. Uanset hvad, kunne det aritmetiske så fast tage deres position i den moderne verden kan ingen blive betragtet som socialt tilpasset uden kendskab til dens fundament.

Da der var et positivt heltal

Selvfølgelig hovedformål der driver aritmetik, - naturlige tal, såsom 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... etc. Aritmetik af naturlige tal er resultatet af bekostning af almindelige objekter, såsom køer i en eng. Alligevel definitionen af "en masse" eller "lidt", når noget er ophørt med at holde folk, og var nødt til at opfinde mere sofistikerede optælling teknik.

Men den virkelige gennembrud kom, da det menneskelige sind har nået det punkt, der kan være en og samme antal "to" til at betegne og 2 kg, og to mursten og 2 dele. Det faktum, at det er nødvendigt at abstrahere fra de former, karakteristika og betydning af objekter, så kan vi producere nogle action med disse objekter i form af positive heltal. Således blev født den aritmetiske af numre, som er videreudviklet og udvidet i de indtager en position i samfundet.

Sådan dybtgående begrebet nummer, som nul og negative tal, brøker, numre henviser til numrene på andre måder, har en rig og interessant historie af udvikling.

Aritmetiske og praktiske egyptere

To gamle menneskelige følgesvend i studiet af verden og løse hverdagens problemer - denne aritmetik og geometri.

Det menes, at historien om aritmetiske har sin oprindelse i det gamle Øst: Indien, Egypten, Babylon og Kina. Så Rhind papyrus egyptisk oprindelse (dette navn, fordi det samme navn, der tilhører ejeren), der går tilbage til det XX århundrede. BC, foruden andre værdifulde data indbefatter ekspansion af en fraktion i mængden af fraktioner med forskellige nævnere og tælleren er lig med én.

For eksempel: = 1/60 2/73 + 1/219 + 1/292 + 1/365 .

Men hvad er meningen med sådan en kompleks nedbrydning? Det faktum, at den egyptiske tilgang ikke tåler indvindes tænker om tal, tværtimod, beregningerne blev foretaget kun til praktiske formål. Det vil sige, vil egypterne blive engageret i en sådan virksomhed som beregninger, udelukkende med henblik på at bygge graven, for eksempel. Det var nødvendigt at beregne længden af finnen struktur, og det gjorde for en person at sidde papyrus. Som det kan ses, blev den egyptiske fremskridt i beregningerne kaldes, snarere massiv, bygning, snarere end en kærlighed til videnskab.

Af denne grund, beregninger findes på papyrus, kan ikke kaldes overvejelser om emnet fraktioner. Mest sandsynligt er det en praktisk forberedelse, som hjalp til yderligere at løse problemer med brøker. De gamle egyptere vidste ikke den store tabel, produceret et forholdsvis lange beregninger, spredt ud i mange delopgaver. Måske er en af disse delopgaver. Det er let at lægge mærke til, at beregningerne med disse emner er meget tidskrævende og ikke særlig lovende. Måske af denne grund ser vi ikke en stor bidrag til udviklingen af gamle egyptiske matematik.

Antikke Grækenland og filosofiske aritmetiske

Mange af kendskabet til den gamle Øst lykkedes beherskes af de gamle grækere, der er kendt for fans af abstrakt, abstrakt og filosofisk refleksion. Øv dem interesseret i intet mindre, men de bedste teoretikere og tænkere er svære at finde. Det var godt for videnskaben, fordi matematik ikke er muligt at gå dybt, ikke at rive det med virkeligheden. Selvfølgelig er det muligt at mangedoble de 10 køer og 100 liter mælk, men ikke være i stand til at bevæge sig langt.

Grækerne tænker dybt efterladt en betydelig avance i historien, og deres værker er kommet til os:

• Euclid og "Elements".
• Pythagoras.
• Arkimedes.
• Eratosthenes.
• Zenon.
• Anaxagoras.

Og, selvfølgelig, vender al filosofi grækerne, og især de tilhængere af Pythagoras sager var så lidenskabeligt om de tal, som anses for dem et mysterium verden harmoni. Tallene er blevet så studeret og undersøgt, at nogle af dem og deres par tilskrives særlige egenskaber. For eksempel:

• Fuldkomne tal - dem, der er summen af alle dets divisorer undtagen selve nummeret (6 = 1 + 2 + 3).
• Venlige numre - disse numre, hvoraf den ene er summen af alle divisorerne af den anden og vice versa (Pythagoras kender kun én sådan par: 220 og 284).

Grækerne, der mente, man skulle elsket at videnskaben, ikke at være sammen med hende af hensyn til gevinst, har gjort store fremskridt, udforskning, leg og tilføje numre. Det skal bemærkes, at ikke alle deres forskning er ofte blevet brugt, nogle af dem var kun "for skønhed."

Østlige tænkere i middelalderen

På samme måde i middelalderen aritmetiske det skylder sin udvikling til de østlige samtidige. Indianerne gav os de tal, som vi bruger aktivt sådan noget som "nul", og stillingen variation beregningssystem, den sædvanlige moderne opfattelse. Fra Al-grød, som i det 15. århundrede arbejdede i Samarkand, har vi arvet decimaler, uden hvilke det er vanskeligt at forestille sig moderne aritmetik.

På mange måder Europa bekendt med resultaterne af Østen blev gjort muligt takket være det arbejde, som den italienske videnskabsmand Leonardo Fibonacci, der skrev en bog "Liber Abaci", acquainting med orientalske innovationer. Det er blevet hjørnestenen i udviklingen af algebra og aritmetik, forskning og videnskabelige aktiviteter i Europa.

russisk aritmetiske

Endelig aritmetik, har fundet sin plads og forankret i Europa, begyndte at sprede sig på russisk jord. Russisk først aritmetiske offentliggjort i 1703 - det var en bog om aritmetik Leontiya Magnitskogo. I lang tid var det den eneste tutorial i matematik. Den indeholder de første øjeblikke af algebra og geometri. Tallene, som blev anvendt i de eksempler på Ruslands første lærebog af aritmetik, arabisk. Selvom arabertal har mødt før, i de indgraveringer går tilbage til det 17. århundrede.

Selve bogen er dekoreret med billeder af Archimedes og Pythagoras, og på den første side - billede aritmetik som en kvinde. Hun sidder på tronen, nedenunder er skrevet i det hebraiske ord for Guds navn, og om de trin, der fører til alteret, indskrevet med ordet "division", "stigning", "Ud", og så videre. Kan D. Man behøver blot forestille sig, hvad værdi forrådt sådanne sandheder, som nu anses hverdagskost.

Lærebogen på 600 sider beskriver som grundlag for lignende addition og multiplikation tabeller, og ansøgninger om navigationsmæssige videnskaber.

Ikke overraskende, har forfatteren valgt billedet af de græske tænkere for sin bog, fordi han selv blev betaget af skønheden i matematik og sagde: "Arithmetic har chislitelnitsa der fager, nezavistnoe ...". Denne tilgang til aritmetiske er begrundet, fordi det er dens udbredte anvendelse kan betragtes som begyndelsen på den hurtige udvikling af videnskabelig tænkning i Rusland og almen uddannelse.

urolige primtal

Prime nummer - det er et naturligt tal, som kun er 2 positive divisorer: 1 og selv. Alle andre tal, undtagen 1 kaldes komposit. Eksempler på primtal: 2, 3, 5, 7, 11, og alle andre, der ikke er andre end 1 divisorer og selve nummeret.

Med hensyn til nummer 1, det er i høj kurs - der er enighed om, at det bør overvejes, hverken enkel eller forbindelse. Enkel ved første øjekast, en simpel tal skjuler mange uløste mysterier i sig selv.

Euklids sætning siger, at et uendeligt antal primtal, og Eratosthenes kom op med en speciel aritmetiske "si", som eliminerer komplicerede numre, så kun simpelt.

Dens essens er at understrege den første genopretter tal, og i den efterfølgende slående ud dem, der er multipla af det. Vi gentage denne procedure flere gange - og få en tabel med primtal.

Aritmetikkens Fundamentalsætning

Blandt de bemærkninger om primtal nødt til specielt nævne den grundlæggende aritmetik teorem.

Grundlæggende aritmetiske sætning hedder, at enhver heltal større end 1, eller et simpelt eller det kan opdeles i et produkt af primtal op til rækkefølgen af gentagelse faktorer, den eneste måde.

Aritmetikkens Fundamentalsætning viste sig ganske besværlig, og at forstå det er ikke som bare det grundlæggende.

Ved første øjekast, de primtal - elementære begreb, men det er ikke. Fysik også engang blev betragtet som elementære atom, indtil hun fandt inde et univers. Primes dedikeret en smuk historie matematiker Don Zagier "De første halvtreds millioner primtal."

Fra de "tre æbler" til deduktive love

Det virkelig kan kaldes en forstærket grundlaget for al videnskab - love aritmetik. Allerede som barn al den aritmetiske ansigt, studere antallet af ben og arme på dukkerne, antallet af terninger, æbler og så videre. D. Så vi studerer aritmetik, som så udvikler sig til mere komplekse regler.

Hele vores liv introducerer os til reglerne for aritmetik, som var for den menige mand det mest nyttige af alt som videnskaben giver. Studiet af tal - det er "Arithmetic-baby", som indfører mennesket til en verden af tal som cifre i den tidlige barndom.

Højere Aritmetik - deduktiv videnskab, som studerer de love aritmetik. De fleste af dem, vi kender, men måske kender vi ikke deres nøjagtige ordlyd.

Loven om addition og multiplikation

Eventuelle to heltal a og b kan udtrykkes som summen af A + B, som også er et naturligt tal. Med hensyn til kommer, følgende love:

• Kommutativ, der siger, at permutation af de vilkår placerer beløb ændrer ikke, eller a + b = b + a.
• Associativ at nævnte sum ikke afhænger af metoden til at gruppere termer på steder, eller a + (b + c) = (a + b) + c.

Regler for aritmetik, såsom addition, - en af de grundlæggende, men de anvendes alle videnskaber, for ikke at nævne hverdagen.

Enhver to heltal a og b kan udtrykkes i produktet eller en b * a * b, som også er et naturligt tal. For at anvende produktet de samme Kommutativ og associative love, at tilsætning af:

• a * b = b * a;
• en * (b * c) = (a * b) * c.

Det er interessant, at der er en lov, som kombinerer addition og multiplikation, også kendt som en fordeling eller distributiv lov:

a (b + c) = ab + ac

Denne lov lærer os at arbejde med beslag, åbne dem, og dermed kan vi allerede arbejder med mere komplekse formler. Det er de love, der vil føre os gennem den maleriske men komplekse verden af algebra.

Lov aritmetiske orden

om lovgivningen i menneskelig logik det bruger hver dag, tjekker sit ur og tælle regninger. Og ikke desto mindre, og det bør gøres til et bestemt sprog.

Hvis vi har to positive heltal a og B, skal følgende muligheder:

• a er lig med b, eller a = b;
• en mindre end b eller en
• a er større end b eller a> b.

Af de tre muligheder bare kan kun være én. Grundloven, der regulerer proceduren, sagde: Hvis en

Der er også love, der binder handlinger rækkefølgen af addition og multiplikation: hvis en

Lovene i aritmetik lært os at arbejde med tal, tegn og konsoller, vender det hele i en harmonisk symfoni af tal.

Positionelle og nonpositional nummereringssystem

Vi kan sige, at tallene - det er det sprog, matematik, fra den bekvemmelighed i hvilket afhænger af mange ting. Der er mange systemer beregningsmetoder, der ligesom de alfabeter af forskellige sprog afviger.

Overvej talesystemet ud fra placeringspositionens indflydelse på cifferets kvantitative værdi i denne position. For eksempel er det romerske system ikke-positionelt, hvor hvert nummer er kodet af et specifikt sæt specielle symboler: I / V / X / L / C / D / M. De er lig med 1/5/10/50/100/500 / 1000. I et sådant system ændrer figuren ikke sin kvantitative definition afhængigt af hvad den står for: den første, den anden osv. For at få andre tal skal du tilføje de grundlæggende. For eksempel:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Mere kendt for os er talesystemet ved hjælp af arabiske tal positioneret. I et sådant system bestemmer ciffernummeret antallet af cifre, for eksempel trecifrede tal: 333, 567 osv. Vægten af et tal afhænger af den position, hvor dette eller det pågældende tal er placeret, for eksempel er nummer 8 i den anden position en værdi på 80. Dette er karakteristisk for decimalsystemet, der er andre positionssystemer, for eksempel binære.

Binær aritmetik

Vi er bekendt med decimalsystemet for beregning, der består af etcifrede tal og flercifrede. Cifret til venstre i et flerscifret tal er ti gange større i betydning end den til højre. Så vi plejede at læse 2, 17, 467 osv. En helt anden logik og tilgang til sektionen, som kaldes "binær aritmetisk". Dette er ikke overraskende, fordi binær aritmetik ikke er skabt til menneskelig logik, men til computeren. Hvis aritmetikken af tal har fundet sted fra objektets konto, som senere abstraheres fra objektets egenskaber til "bare" aritmetik, fungerer det ikke med computeren. For at kunne dele deres viden med computere måtte en person opfinde en sådan beregningsmodel.

Binær aritmetik virker med et binært alfabet, som kun består af 0 og 1. Og brugen af dette alfabet kaldes det binære system i beregningen.

Forskellen mellem binær aritmetik og decimal er, at betydningen af stillingen til venstre ikke længere er 10, men 2 gange. Binære tal har formular 111, 1001 osv. Hvordan kan man forstå sådanne tal? Så overvej nummeret 1100:

1. Det første ciffer til venstre er 1 * 8 = 8, idet vi husker at det fjerde ciffer, og derfor skal det ganges med 2, får vi position 8.
2. Det andet ciffer er 1 * 4 = 4 (position 4).
3. Det tredje ciffer er 0 * 2 = 0 (position 2).
4. Det fjerde ciffer er 0 * 1 = 0 (position 1).
5. Så vores nummer er 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

Det vil sige, når du skifter til et nyt ciffer til venstre, multipliceres dets betydning i det binære system med 2 og i decimaltalet med 10. Dette system har et minus: det er for stort en vækst af cifre, som er nødvendige for at skrive tal. Eksempler på at repræsentere decimaltal i form af tocifrede tal kan findes i nedenstående tabel.

Decimale tal i binær form er vist nedenfor.

Også anvendt er de oktale og hexadecimale systemer i beregningen.

Denne mystiske aritmetik

Hvad er aritmetisk, "to gange to" eller ukendte mysterier af tal? Som du kan se, kan aritmetik synes at være simpelt ved første øjekast, men dens uendelige lethed er vildledende. Det kan studeres og børn sammen med tante Sova fra tegnet "Arithmetic-baby", og du kan fordybe dig i dybt videnskabelig forskning af næsten filosofisk orden. I historien gik hun fra tællingen af objekter til tilbedelse af skønheden i tal. Kun én ting er sikkert: Med etableringen af de basale postulater af aritmetik kan al videnskab stole på sin stærke skulder.