Cramers regel og dens anvendelse

Cramer regel - er en af de nøjagtige metoder til at løse systemer af lineære algebraiske ligninger (Slough). Dens nøjagtighed på grund af brugen af de afgørende faktorer for systemets matrix, samt nogle af de restriktioner i beviset for sætningen.

Et system af lineære algebraiske ligninger med koefficienter tilhører, for eksempel en flerhed af R - reelle tal af ubekendte x1, x2, ..., xn er en samling af udtryk

AI2 x1 + AI2 x2 + ... ain xn = bi med i = 1, 2, ..., m, (1)

hvor aij, bi - reelle tal. Hver af disse udtryk kaldes en lineær ligning, aij - koefficienter af de ukendte, bi - uafhængige koefficienter af ligninger.

opløsning af (1) henvist til n-dimensional vektor x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), på hvilket substitution i systemet for ubekendte x1, x2, ..., xn, hver af linjerne i systemet bliver bedst ligning .

Systemet hedder konsekvent, hvis det har mindst én løsning, og inkonsekvent, hvis det falder sammen med den løsning, sæt den tomme mængde.

Man må huske, at for at finde løsninger på systemer af lineære ligninger ved hjælp af fremgangsmåden ifølge Cramer, matrixsystemer skal være firkantet, som dybest set betyder det samme antal ubekendte og ligninger i systemet.

Så for at bruge Cramers metode, skal du i det mindste vide , hvad Matrix er et system af lineære algebraiske ligninger, og det er udstedt. Og for det andet, at forstå, hvad der kaldes determinanten af matricen og egne færdigheder beregning.

Lad os antage, at denne viden du besidder. Vidunderligt! Så er du nødt til bare huske formler, der bestemmer Kramer metode. For at forenkle memorization bruge følgende notation:

• Det - den vigtigste faktor for matrixen af systemet;

• deti - er determinanten af matrixen opnået fra den primære matrix af systemet ved at erstatte i'te søjle i matricen til en søjle vektor, hvis elementer er de højre sider af lineære algebraiske ligninger;

• n - antallet af ubekendte og ligninger i systemet.

Derefter Cramers regel beregning i'te komponent xi (i = 1, .. n) n-dimensional vektor x kan skrives som

xi = deti / Det, (2).

I dette tilfælde Det strengt forskellig fra nul.

Det unikke ved opløsning af systemet, når den er i fællesskab tilvejebragt af uligheden tilstand den vigtigste faktor for systemet til nul. Ellers, hvis summen af (xi), kvadreret, strengt positiv, så SLAE en kvadratisk matrix ikke er gennemførligt. Dette kan forekomme især når mindst en af Børn forskellig fra nul.

Eksempel 1. For at løse det tredimensionelle LAU system ved hjælp af Cramers formel.
2 x1 + x2 + x3 = 31 4,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Afgørelse. Vi skriver ned matrix af systemet linje for linje, hvor Ai - er den i'te række i matricen.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1).
Kolonne gratis koefficienter b = (31 29 10).

Det vigtigste system er determinanten Det
Det = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a31 a21 a32 - a13 a22 a31 - a11 a32 a23 - a33 a21 a12 = 1 - 20 ud + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

At beregne permutation DET1 anvendelse a11 = b1, a21 = b2, a31 = b3. derefter
DET1 = b1 a22 a33 + A12 A23 b3 + A31 b2 A32 - A13 A22 B3 - b1 A32 A23 - A33 b2 A12 = ... = -81.

Ligeledes at beregne det2 brug substitution a12 = b1, a22 = b2, a32 = b3, og følgelig at beregne det3 - a13 = b1, a23 = b2, a33 = b3.
Derefter kan du kontrollere, at det2 = -108, og det3 = - 135.
Ifølge formlerne Cramer finde x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.

Svar: x ° = (3,4,5).

Afhængige anvendeligheden af denne regel, kan anvendes fremgangsmåden ifølge Kramer løse systemer af lineære ligninger indirekte, for eksempel, at undersøge systemet på det mulige antal opløsninger afhængigt af værdien af en parameter k.

Eksempel 2. For at bestemme, ved hvilke værdier af parameteren k ulighed | kx - y - 4 | + | x + ky +4 | <= 0 har præcis én løsning.

Afgørelse.
Denne ulighed, af definitionen af modulet funktionen kan kun udføres, hvis begge udtryk er nul samtidigt. Derfor er dette problem reduceret til at finde løsningen af lineære algebraiske ligninger

kx - y = 4,
x + ky = -4.

Løsningen på dette system, hvis det er den vigtigste faktor for den
Det = k ^ {2} + 1 ikke er nul. Det er klart, at denne betingelse er opfyldt for alle reelle værdier af parameteren k.

Svar: for alle reelle værdier af parameteren k.

Målene for denne type kan også reduceres mange praktiske problemer inden for matematik, fysik eller kemi.