Arealet af en ligesidet trekant

Blandt de geometriske figurer, som diskuteres i afsnittet geometri, den hyppigst forekommende i opløsning af forskellige problemer med trekanten. Det er en geometrisk figur dannet af tre linjer. De på et tidspunkt ikke skærer hinanden og er ikke parallelle. Det er muligt at give en anden definition: trekanten er en polygonal lukket kurve bestående af tre enheder, hvori dets begyndelse og ende er forbundet ved et punkt. Hvis alle tre sider er af samme værdi, så er det en ligesidet trekant, eller, som de siger, er ligesidet.

Hvordan kan vi bestemme arealet af en ligesidet trekant? For at løse disse problemer er det nødvendigt at kende nogle af de egenskaber af geometriske figurer. For det første i denne form for trekant alle vinkler er lige. For det andet, hvis højde ned fra toppen til bunden, er både median og højde. Dette antyder, at højden af spidsen af trekanten deler sig i to lige store vinkler, og den modsatte retning - i to lige segmenter. Da ligesidet trekant består af to retvinklede trekanter, skal ved fastsættelsen af de ønskede værdier bruge Pythagoras.

Beregning arealet af en trekant kan gøres på forskellige måder, afhængig af de kendte mængder.

1. Overvej en ligesidet trekant med den kendte side b og højden h. arealet af en trekant i dette tilfælde vil være lig med en halv produktsiden og højde. I en formel ville det se sådan ud:

S = 1/2 * h * b

Med ordene, den ligesidede trekant-området er lig med en halv sit arbejde side og højde.

2. Hvis du kun kender værdien side, før de søger området, er det nødvendigt at beregne sin højde. Til dette betragter vi halvdelen af trekanten, som er højden af et af benene, hypotenusen - denne side af trekanten, og det andet ben - halvdelen af de sider af trekanten i henhold til dens egenskaber. Alt fra samme Pythagoras læresætning vi definerer højden af trekanten. Som det er kendt fra kvadratet på hypotenusen svarer til summen af kvadraterne af benene. Hvis vi ser på halvdelen af trekanten, i dette tilfælde den side er hypotenusen, side af halvdelen - i benet, og højde - den anden.

(B / 2) ² + h2 = b², dermed

h² = b²- (b / 2) ². Her er en fællesnævner:

h² = 3b² / 4,

h = √3b² / 4,

h = b / 2√3.

Som du kan se, højden af figuren under overvejelse, er lig med produktet af halvdelen af hans ansigt og roden af tre.

Substituere i formel og se: S = 1/2 * b * b / 2√3 = b² / 4√3.

Dvs. arealet af en ligesidet trekant er lig med produktet af den fjerde side af pladsen og kvadratroden af tre.

3. Der er nogle opgaver, hvor du har brug for at bestemme arealet af en ligesidet trekant i en vis højde. Og det er nemmere end nogensinde. Vi har allerede bragt i det foregående tilfælde, at h² = 3 b² / 4. Yderligere her nødvendigt at trække i siden og substitueret ind i området formel. Det vil se sådan ud:

b² = 4/3 * h², dermed b = 2h / √3. Erstatning af formel, der er firkantet, får vi:

S = 1/2 * h * 2t / √3 dermed S = h² / √3.

Der har været problemer, når det er nødvendigt at finde arealet af en ligesidet trekant langs radius af den indskrevne eller omskrevne cirkel. Til denne beregning, er der også visse formler, der er som følger: r = √3 * b / 6, R = √3 * b / 3.

Lov allerede velkendt for os princippet. Med en kendt radius, vi udlede Formel side og beregne det ved at erstatte en kendt værdi af radius. Den opnåede værdi er substitueret i den allerede kendte formel for beregning af arealet af den højre trekant udføre aritmetiske og finde den ønskede værdi.

Som du kan se, for at løse lignende problemer, du har brug for at vide ikke kun egenskaberne for en ligesidet trekant og Pythagoras læresætning, og, og, og radius af den indskrevne cirkel. Til at holde den viden løsning af sådanne problemer ikke vil udgøre meget besvær.