Pendul: periode og acceleration med formlen

Det mekaniske system, der består af et materiale punkt (kroppen), der hænger på en vægtløs uudvidelig filament (dens masse er ubetydelig i forhold til vægten af kroppen) på ensartet tyngdefelt, kaldet den matematiske pendul (et andet navn - oscillatoren). Der er andre typer af enheder. I stedet for et filament vægtløs stang kan anvendes. Pendulum kan tydeligt afsløre essensen af mange interessante fænomener. Når små amplitude vibrationer af dens bevægelse kaldes harmonisk.

Generel information om det mekaniske system

Formlen af svingningerne periode af pendulet blev opdrættet hollandske videnskabsmand Huygens (1629-1695 gg.). Denne nutidig af Isaac Newton var meget glad for det mekaniske system. I 1656 skabte han den første vagt med et pendul mekanisme. De målte tiden med ekstrem præcision for de tider. Denne opfindelse var et stort skridt i udviklingen af fysiske eksperimenter og praktiske aktiviteter.

Hvis pendulet er i en ligevægtsstilling (hængende lodret), den tyngdekraften vil blive opvejet af garnet trækkraft. Flad pendul på en ikke-strækbare garner er et system med to frihedsgrader for kommunikation. Når du ændrer bare en af komponenterne i at ændre de særlige kendetegn ved alle dets dele. For eksempel, hvis en tråd er erstattet af en stang, så dette mekaniske system er kun 1 frihedsgrad. Hvad er det så, egenskaberne for en matematisk pendul? I dette simple system, under indflydelse af en periodisk forstyrrelse, vises kaos. I så fald, når suspensionen punkt ikke er i bevægelse, og oscillerer et pendul er der en ny ligevægtsstilling. Hvis hurtige fluktuationer op og ned dette mekaniske system bliver stabil position "på hovedet". Det har også sit navn. Det kaldes Kapitza pendul.

Egenskaberne af pendulet

Pendulum har meget interessante egenskaber. Alle af dem er understøttet af kendte fysiske love. Svingningsperioden pendulets enhver anden, afhænger af forskellige omstændigheder som størrelsen og formen af kroppen, afstanden mellem punktet for suspension og tyngdepunkt, vægtfordeling i forhold til dette punkt. Det er derfor, at definitionen af kroppen hængende periode er ganske udfordrende. Er meget lettere at beregne den periode af en simpel pendul, formlen er angivet nedenfor. Som et resultat af at observere disse mønstre kan indstilles på lignende mekaniske systemer:

• Hvis, samtidig med at den samme længde af pendulet, ophængt fra en række forskellige belastninger, den periode af svingningen få den samme, selv om deres vægt vil variere meget. Derfor ikke den periode, hvor pendulet ikke afhænge af vægten af lasten.

• Hvis systemet begynder at falde i pendulet er ikke for stor, men forskellige vinkler, vil det svinge med samme periode, men på forskellige amplituder. Mens afvigelser fra centrum af balance er ikke alt for store udsving i deres form, vil være tæt nok harmonisk. Den periode af en sådan pendul afhænger ikke vibrationsamplituden. Denne egenskab af det mekaniske system kaldes isochronism (i Græsk "Chronos" - tid "Izosov" - lige).

Perioden med en simpel pendul

Dette tal repræsenterer den naturlige svingningsperiode. På trods af den komplekse formulering, selve processen er meget enkel. Hvis længden af garnet matematiske pendul L og tyngdeaccelerationen g, denne værdi er lig:

T = 2π√L / g

Lille periode af egensvingninger på ingen måde afhænger ikke massen af pendulet og svingningsamplituden. I dette tilfælde som en matematisk pendul bevæger sig med reduceret længde.

Svingninger af en matematisk pendul

Matematisk pendul svinger, som kan beskrives ved en simpel differentialligning:

x + ω2 sin x = 0,

hvor x (t) - ukendt funktion (dette afbøjningsvinklen fra den nedre position af ligevægt på tidspunktet t, udtrykt i radianer); ω - en positiv konstant, som bestemmes ud fra parametrene for pendulet (ω = √g / L, hvor g - tyngdeaccelerationen, og L - længden af en enkelt pendul (suspension).

Ligning små svingninger nær ligevægtsstilling (harmonisk ligning) som følger:

x + ω2 sin x = 0

Oscillerende bevægelse af pendulet

Pendulum, der gør små svingninger, flytter sinuskurve. Anden ordens differentialligning opfylder alle kravene og parametre for en sådan bevægelse. For at bestemme den sti, du har brug for at indstille hastigheden og koordinater, som senere fastsættes uafhængige konstanter:

x = A sin (θ ₀ + wt),

hvor θ ₀ - indledende fase A - svingningsamplitude, ω - cyklisk frekvens bestemmes ud fra bevægelsesligningerne.

Pendul (formel for store amplituder)

Denne mekaniske system, udføre deres svingninger med en stor amplitude, den kan blive mere komplekse færdselsloven. de beregnes i overensstemmelse med formlen for sådan et pendul:

sin x / 2 = u * sn (wt / u),

hvor sn - sinus Jacobi, der for u <1 er en periodisk funktion, og for lille u det falder sammen med den simple trigonometriske sinus. Værdien af u bestemmes ved det følgende udtryk:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

hvor ε = E / ML2 (ML2 - energi af pendulet).

Bestemmelse af ikke-lineær oscillation periode af pendulet ved den følgende formel:

T = 2π / Ω,

hvor Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - elliptisk integral, π - 3,14.

pendulbevægelsen af separatrixen

Det kaldes separatrixen bane af det dynamiske system, i hvilket et todimensionalt faserum. Pendulum bevæger sig på en ikke-periodisk. I det uendeligt langt tidspunkt det falder fra den øverste position i retning af en nul-hastighed, og så er det langsomt ved at vinde. Han stoppede i sidste ende, vender tilbage til sin oprindelige position.

Hvis amplituden af oscillationen af pendulet nærmer antallet pi, siges det, at bevægelsen i faseplanet er tæt på separatrixen. I dette tilfælde under indvirkning af en lille periodisk drivkraft for det mekaniske system udviser kaotisk adfærd.

I tilfælde af en simpel pendul fra ligevægtsstillingen med en vinkel cp opstår tangentiel kraft Fτ = -mg sin φ tyngdekraft. "Minus" tegnet betyder, at den tangentiale komponent rettet i den modsatte retning fra retningen af afvigelsen af pendulet. Når der henvises via pendul forskydning x langs en cirkulær bue med en radius L er lig med dens vinkeldrejning φ = x / L. Den anden lov Isaaka Nyutona, designet til projektion af accelerationen vektor og styrke giver den ønskede værdi:

mg τ = Fτ = -mg sin x / L

Baseret på dette forhold er det klart, at pendulet er et ikke-lineært system, som en kraft, der har tendens til at vende tilbage til sin ligevægtsstilling, er ikke altid proportional med forskydningen x, a sin x / L.

Kun når det matematiske pendul udfører små vibrationer, er det en harmonisk oscillator. Med andre ord bliver det et mekanisk system kan udføre harmoniske svingninger. Denne tilnærmelse er gyldig for næsten vinkler 15-20 °. Pendul med store amplituder er ikke harmonisk.

Newtons lov for små svingninger af et pendul

Hvis det mekaniske system udfører små svingninger, vil 2. Newtons lov se sådan ud:

mg τ = Fτ = -m * g / L * x.

På dette grundlag kan vi konkludere, at den tangentialaccelerationen af et simpelt pendul er proportional med dets forskydning med tegnet "minus". Dette er en tilstand, hvor systemet bliver en harmonisk oscillator. Modul proportionalitetsfaktor mellem forskydningen og accelerationen er lig med kvadratet på den kantede frekvens:

ω02 = g / l; ω0 = √ g / L.

Denne formel afspejler den naturlige frekvens af små svingninger af denne type pendul. På dette grundlag

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Beregninger baseret på loven om energiens bevarelse

Egenskaber oscillerende pendul bevægelser kan beskrives ved hjælp af loven om energiens bevarelse. Det skal erindres, at den potentielle energi af pendulet i et tyngdefelt er:

E = mgΔh = MGL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

Fuld mekanisk energi er lig med den kinetiske og maksimale potentiale: Epmax = Ekmsx = E

Når du har skrevet loven om energiens bevarelse, idet den afledte af de venstre og højre side af ligningen:

Ep + Ek = const

Da derivat af konstanterne er lig med 0, så er (Ep + Ek) '= 0. Den afledte af summen er lig med summen af derivaterne:

Ep '= (mg / L * x2 / 2)' = mg / 2L * 2x * x '= mg / l * v + Ek' = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) '= m / 2 * 2v * v '= mv * α,

derfor:

Mg / l * xv + MVA = v (mg / L * x + m α) = 0.

Baseret på den sidste formel, finder vi: α = - g / L * x.

Praktisk anvendelse af det matematiske pendul

Acceleration af frit fald varierer med bredde, fordi densiteten af skorpen rundt om planeten ikke identiske. Hvor sten forekomme med større tæthed, vil det være lidt højere. Acceleration af matematiske pendul er ofte brugt til udforskning. I sin hjælp kigge efter forskellige mineraler. Du skal blot at tælle antallet af svingninger af et pendul, er det muligt at detektere kul eller malm i jordens indre. Dette skyldes det faktum, at disse ressourcer har en massefylde og vægt på mere end ligger under de løse sten.

Matematisk pendul bruges af så prominente forskere som Sokrates, Aristoteles, Platon, Plutarch, Arkimedes. Mange af dem mente, at det mekaniske system kan påvirke skæbne og liv. Archimedes brugte det matematiske pendul med sine beregninger. I dag, mange okkultister og healere bruger dette mekaniske system til gennemførelse af sine profetier, eller eftersøgningen af forsvundne mennesker.

Den berømte franske astronom og videnskabsmand, Flammarion for deres forskning også brugt en matematisk pendul. Han hævdede, at med hans hjælp var han i stand til at forudsige opdagelsen af en ny planet, fremkomsten af Tunguska meteorit, og andre vigtige begivenheder. Under Anden Verdenskrig i Tyskland (Berlin) arbejdede som en specialiseret institut af pendulet. I dag, sådan forskning er ikke tilgængelig München Institute of parapsykologi. Hans arbejde med pendulet personalet i denne institution kaldet "radiesteziey".