Hvordan til at beregne arealet af en pyramide: basen, side og fuld?

Som forberedelse til eksamen i matematik studerende er nødt til at systematisere viden om algebra og geometri. Jeg vil gerne kombinere alle kendte oplysninger, såsom hvordan man beregner arealet af en pyramide. Desuden, startende fra bunden og sideflader indtil hele overfladearealet. Hvis den side vender situationen er klart, da de er trekanter, basen er altid anderledes.

Hvordan at være, når det område af bunden af pyramiden?

Det kan være ganske ethvert tal fra en vilkårlig trekant til n-kant. Og denne base, undtagen forskellen i antallet af vinkler, kan være rigtige eller forkerte tal. Af hensyn til elevernes opgaver på eksamen findes kun job med de korrekte tal i bunden. Derfor vil vi kun tale om dem.

ligesidet trekant

Det er ligesidet. Én, at alle parter er lige, og betegnes med bogstavet "a". I dette tilfælde er bunden område af pyramiden beregnes efter formlen:

S = (en ² * √3) / 4.

firkantet

Formlen til beregning af sit område er den enkleste, er "a" - siden er igen:

Og S = ^2.

Vilkårlige regelmæssig n-kant

Ved siderne af polygonen samme betegnelse. For antallet af vinkler brugte latinske bogstav n.

S = (n * en ²⁾ / (4 * tg (180º / n)) .

Sådan indgå i beregningen af arealet af den laterale og fuld overflade?

Da basen tallet er korrekt, så alle ansigterne på pyramiden er lige. Hver især er en ligebenet trekant, da sidekanterne er ens. Derefter, for at beregne arealet af en side af pyramiden brug formel bestående af summen af monomialer identiske. Antallet af led er bestemt af mængden af basissiderne.

Arealet af en ligebenet trekant beregnes ved formlen i hvilken halvdel af basisproduktet multipliceres med højden. Denne højde i pyramiden kaldet apothem. Dens betegnelse - "A". Den generelle formel for det område af den laterale overflade er som følger:

S = ½ P * A, hvor P - omkreds af bunden af pyramiden.

Der er tidspunkter, hvor det ikke vides at basissiden, men sidekanterne er (a) flad og vinklen ved spidsen (α). Så det beror bruge følgende formel til beregning af laterale område af pyramiden:

S = n / 2 til ² * sin α.

Opgave № 1

Betingelse. Find det samlede areal af pyramiden, hvis dens base er en ligesidet trekant med en side på 4 cm og har værdien √3 apothem cm.

Afgørelse. Det bør starte med beregningen af basen omkredsen. Da dette er en regulær trekant, så er P = 3 * 4 = 12 cm apothem Som det er kendt, kan man straks beregne arealet af hele sidefladen :. ½ * 12 * √3 = 6√3 ^cm2.

At opnå basen trekant er værdien af området (4 ² * √3) / 4 = 4√3 ^cm2.

At bestemme hele område skal folde de to resulterende værdier: 6√3 + 4√3 = 10√3 ^cm2.

Svar. 10√3 ^cm2.

Problem № 2

Betingelse. Der er en regelmæssig firkantet pyramide. Længden af basen er lig med 7 mm, den laterale kant - 16 mm. Du skal kende sit areal.

Afgørelse. Da polyeder - rektangulær og korrekte, på sin base er et kvadrat. Hørelse basisareal og laterale sider kunne tælle firkantet pyramide. Formlen for pladsen er givet ovenfor. Og jeg kender alle sideflader af trekanten. Derfor kan du bruge Herons formel for beregning af deres områder.

De første beregninger er enkle og føre til dette nummer: 49 ^mm2. At beregne den anden værdi behøver semiperimeter: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Nu kan vi beregne arealet af en ligebenet trekant: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) ²⁾ = √2985,9375 = 54,644 ^mm2. Der er fire trekanter, så ved beregning af de endelige tal vil skulle ganges med fire.

Opnået: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 ^mm2.

Svar. 267,576 ønskede værdi på ² mm.

Opgave № 3

Betingelse. Ved regelmæssig firkantede pyramide er nødvendigt at beregne området. Det er kendt side af pladsen - 6 cm og højde - 4 cm.

Afgørelse. Den nemmeste måde at bruge formlen til produktet af omkredsen og apothem. Den første værdi er fundet simpelthen. Den anden lidt hårdere.

Vi bliver nødt til at huske den pythagoræiske læresætning og overveje en retvinklet trekant. Det er dannet af højden af pyramiden og apothem, som er hypotenusen. Det andet ben er halvdelen af side af pladsen, som et polyeder højde falder i midten af det.

Begunstiget apothem (hypotenusen af en retvinklet trekant) er lig med √ ^{(3 2 + 4 2) =} 5 ( cm).

Nu er det muligt at beregne den ønskede værdi: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 = 96 ( ^cm2).

Svar. 96 cm ^2.

Problem № 4

Betingelse. Dana regelmæssig sekskantede pyramide. Siderne af sin base lig med 22 mm, sidekanterne - 61 mm. Hvad er arealet af den laterale overflade af denne polyeder?

Afgørelse. Ræsonnementet i det er de samme som beskrevet i opgaven №2. Kun pyramiden blev givet der til pladsen i bunden, og nu er det en sekskant.

Det første trin beregnes ved basisareal med ovenstående formel ^{(6 * 22 2) / (} 4 * tg (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 ^cm2.

Nu skal du finde halv omkredsen af en ligebenet trekant, som er en side ansigt. (22 + 61 * 2) :. = 72 cm2 forbliver på Heron formel til beregning af arealet for hver af trekanten, og multiplicerer den med seks fold og en, der viste sig at basen.

Beregninger på Heron formel: √ (72 * (72-22) * ( 72-61) 2) = √435600 = 660 ^cm2. Beregningerne, der vil give sideværts overfladeareal: 660 * 6 = 3960 ^cm2. Det er fortsat at tilføje dem op for at finde ud af hele overfladen: 5217,47≈5217 ^cm2.

Svar. Grunde - 726√3 ^cm2, sidefladen - 3960 ^cm2, hele området - 5217 ^cm2.